2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Необычное диофантово уравнение
Сообщение05.08.2024, 15:05 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Дан многочлен с целыми коэффициентами $f(x)=x^{2m}+x^{m+n}-4x^m+x^{m-n}+1$, где $m>n$ --- взаимно простые натуральные числа. Найдите $\gcd{(f(x),f'(x))}$.

Комментарий. Здесь я не берусь даже выписать это самое диофантово уравнение, но оно есть и его можно решить (неизвестные --- это $m$ и $n$). Задача была предложена на последней Сибирской математической олимпиаде в категории студентов-первокурсников, но никто из участников ее не решил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение09.08.2024, 10:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
$x^{gcd(m,n)}-1$, что ли? Сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение09.08.2024, 12:23 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
ИСН в сообщении #1648957 писал(а):
Сложно.
Что именно сложно? Если $m$ и $n$ не взаимно просты, то ответ, скорее всего, $x^{\gcd{(m,n)}}-1$, но над этим я не думал. Там другие обобщения интересны.

Как задача-то вообще, симпатичная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение15.08.2024, 21:45 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Случай, когда $m$ и $n$ не взаимно просты, очевидным образом сводится к случаю $\gcd{(m,n)}=1$, так что интереса не представляет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение15.08.2024, 23:42 
Аватара пользователя


07/01/16
1603
Аязьма
Интересно, тут общий множитель $x-1$ виден "на глазок", т.е. сложность и интерес задачи в том, чтобы доказать, что получившиеся после его отделения бегемоты взаимно просты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение16.08.2024, 00:35 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
waxtep в сообщении #1650215 писал(а):
сложность и интерес задачи в том, чтобы доказать, что получившиеся после его отделения бегемоты взаимно просты?
Ну да. По-моему, это неочевидно. Исходный многочлен на самом деле малочлен, но после деления его на $x-1$ становится именно что бегемотом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение23.08.2024, 00:38 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Имеем $f(x) = (x^m-1)^2 + x^{m-n}(x^n-1)^2$ и
$$g(x) := f'(x)/x^{m-n-1} = 2mx^n(x^m-1) + ((m+n)x^n - (m-n))(x^n-1).$$
Наша цель найти значение $h(x) := \gcd(f(x),g(x))$.

Переписываем $f(x)\equiv g(x)\equiv 0\pmod{h(x)}$ в виде системы сравнений:
$$\begin{cases}
(x^m-1)^2 \equiv - x^{m-n}(x^n-1)^2 \pmod{h(x)}\\
2mx^n(x^m-1) \equiv -((m+n)x^n - (m-n))(x^n-1)\pmod{h(x)}
\end{cases}$$
Возводя второе сравнение в квадрат и подставляя первое, имеем
$$-4m^2x^{m+n}(x^n-1)^2 \equiv ((m+n)x^n - (m-n))^2(x^n-1)^2 \pmod{h(x)}.$$
Ввиду $\gcd(m,n)=1$ и $g'(1) = 2m^2 + 2n^2$ имеем также $\gcd((x^n-1)^2,h(x))=x-1$. Поэтому сокращение $(x^n-1)^2$ в последнем сравнении даёт:
$$-4m^2x^{m+n} \equiv ((m+n)x^n - (m-n))^2 \pmod{h(x)/(x-1)},$$
что переписываем в виде:
$$-4m^2x^n(x^m-1) \equiv ((m+n)^2 x^n - (m-n)^2) (x^n-1) \pmod{h(x)/(x-1)}.$$
Подставляя второе сравнение системы и сокращая $x^n-1$, получаем:
$$2m((m+n)x^n - (m-n)) \equiv (m+n)^2 x^n - (m-n)^2 \pmod{h(x)/(x-1)},$$
т.е.
$$(m^2-n^2)(x^n - 1) \equiv 0  \pmod{h(x)/(x-1)}.$$
Поэтому $h(x)/(x-1)=1$, что дает $h(x)=x-1$.

-- Thu Aug 22, 2024 16:41:56 --

PS. Какой-то хитрый "алгоритм Евклида" получился. Хорошая задачка, но кажется ее можно как-то обобщить...

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение23.08.2024, 08:13 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Вот это да, еще один приятный сюрприз :-) На меня обрушился вал новых для меня идей! Буду разгребать постепенно, сразу все не осилить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение23.08.2024, 19:45 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Всегда стараюсь избегать ручной работы, так как велика вероятность ошибки, и здесь она не заставила себя ждать:
maxal в сообщении #1651115 писал(а):
$$-4m^2x^{m+n} \equiv ((m+n)x^n - (m-n))^2 \pmod{h(x)/(x-1)},$$
что переписываем в виде:
$$-4m^2x^n(x^m-1) \equiv ((m+n)^2 x^n - (m-n)^2) (x^n-1) \pmod{h(x)/(x-1)}.$$

Правильно будет:
$$-4m^2x^n(x^m-1) \equiv ((m+n)^2 x^n + (m-n)^2) (x^n+1) \pmod{h(x)/(x-1)}.$$
Соответственно далее будет:
$$(m^2 - n^2)(x^n-1)^2 -4(m^2+n^2)x^n\equiv 0 \pmod{h(x)/(x-1)}$$
где сократить $x^n-1$ уже не получается. Надо думать дальше.

По большому счёту, чем я тут занимался - это исключение переменных. А для этого можно попросту сделать так: представить $x^nf(x)$ и $g(x)$ как многочлены от переменных $u:=x^m$ и $v:=x^n$ и вычислить их результант относительно $u$:
$$v \cdot (v - 1)^{2} \cdot \left((-m^{2} + n^{2}) v^{2} + (6 m^{2} + 2 n^{2}) v - m^{2} + n^{2}\right)$$
Откуда следует, что $h(x)/(x-1)$ делит $(m^{2} - n^{2}) x^{2n} - (6 m^{2} + 2 n^{2}) x^n + (m^{2} - n^{2})$, что совпадает с исправленным ручным результатом выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение24.08.2024, 09:12 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
maxal в сообщении #1651215 писал(а):
представить $x^nf(x)$ и $g(x)$ как многочлены от переменных $u:=x^m$ и $v:=x^n$
Вот ровно это я и делал. Далее можно просто решить систему уравнений относительно $u$ и $v$, там же только квадратные уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение24.08.2024, 17:27 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
nnosipov в сообщении #1651241 писал(а):
Далее можно просто решить систему уравнений относительно $u$ и $v$, там же только квадратные уравнения.

Да, я тоже смотрел в эту сторону. Получается уравнение:
$$\big(\frac{3m^2+n^2}{m^2-n^2} \pm \frac{2m}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\big)^m = \big(- \frac{m^2+3n^2}{m^2-n^2} \pm \frac{2n}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\big)^n$$
Так как левая скобка положительна, а правая отрицательна, то $n$ четно, а $m$ соответственно нечётно. Тогда $2(m^2+n^2)\equiv 2\pmod{8}$ не является квадратом, то есть мы имеем дело с квадратичными иррациональностями. Но вот что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение24.08.2024, 17:45 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
maxal в сообщении #1651277 писал(а):
Но вот что дальше?
Да просто сравнить по величине левую и правую часть (напомню, у нас $m>n$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение24.08.2024, 17:51 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Не получается для этого выбора знаков:
$$\big(\frac{3m^2+n^2}{m^2-n^2} - \frac{2m}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\big)^m = \big(\frac{m^2+3n^2}{m^2-n^2} + \frac{2n}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\big)^n$$
Или я чего-то не вижу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение24.08.2024, 18:59 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
maxal в сообщении #1651280 писал(а):
Или я чего-то не вижу?
А там у системы только два решения (т.е. не все знаки допустимы). И для этих двух решений вроде бы все окей. Более точно, речь идет о системе $$u+1/u+v+1/v=4, \quad m(u-1/u)+n(v-1/v)=0,$$ где $u=x^m$, $v=x^n$. Она, помимо тривиального решения $(u,v)=(1,1)$, имеет еще ровно два решения $(u,v) \in \{(u_0,v_0),(u_0^{-1},v_0^{-1})\}$, где $$u_0=-\frac{m^2+3n^2+2n\sqrt{2(m^2+n^2)}}{m^2-n^2}, \quad
v_0=\frac{3m^2+n^2+2m\sqrt{2(m^2+n^2)}}{m^2-n^2}.$$Проверьте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычное диофантово уравнение
Сообщение24.08.2024, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
551
so dna
maxal в сообщении #1651280 писал(а):
Не получается для этого выбора знаков:
$$\big(\frac{3m^2+n^2}{m^2-n^2} - \frac{2m}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\big)^m = \big(\frac{m^2+3n^2}{m^2-n^2} + \frac{2n}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\big)^n$$
Или я чего-то не вижу?


Левая часть меньше единицы, а правая больше:

$\left(\frac{3m^2+n^2}{m^2-n^2}-\frac{2m}{m^2-n^2}\sqrt{2\left(m^2+n^2\right)}\right)^m=\left(1 - \frac{4(m^2+n^2)}{2m\sqrt{2(n^2+m^2)}+2(n^2+m^2)}\right)^m<1$

$\left(\frac{m^2+3n^2}{m^2-n^2}+\frac{2n}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\right)^n=\left(1 + \frac{2n\sqrt{2(n^2+m^2)}+4n^2}{m^2-n^2}\right)^n>1$

Или должно быть наоборот?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group