2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение21.03.2024, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
EUgeneUS в сообщении #1633594 писал(а):
Но все равно, один из 9 это больше, чем 4 из 81.

11 из 243 еще меньше )

-- Чт мар 21, 2024 11:50:51 --

worm2 в сообщении #1633589 писал(а):
Несколько удивляет, что $y$ мало по сравнению с $x$.

Наверное потому, что перебор идет именно по $y$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение21.03.2024, 11:53 


16/08/19
113
Поскольку
НОД(y² + 1, x) = x
Предлагаю вычислительный алгоритм:
1. Берем случайное y (~20 разрядов), возводим в квадрат, прибавляем 1
2. Делим результат на случайное число (~10 разрядов) до тех пор, пока не получаем целое x
3. Вычисляем левую часть: 1 + x² + x³ + y²
4. Делим левую часть на 9xy до тех пор, пока не получим целое z

Вопросы:
1. Какое y брать на первом шаге ?
2. Какое число брать на втором шаге ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение21.03.2024, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Это, конечно, шуточно, но вот еще одно решение, полученное из второго решения maxal:
Код:
x = 134398663297274547209137686278055005569690302475018
y = 24450051153288123059132476272200502387987242977022468588628892545501208182968552681649479327690850941874270568150324269
z = 20213536978090153723578064261881061403832912545088461051439794069731

$x, z$ те же, $y$ поменялось

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение21.03.2024, 22:30 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
juna в сообщении #1633612 писал(а):
Это, конечно, шуточно, но вот еще одно решение, полученное из второго решения maxal:

Как говорится, "тепло".

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение22.03.2024, 00:40 
Заслуженный участник


29/09/14
1238
Вот, тоже шуточно получил - из первого решения maxal. $x, z$ те же, $y$ поменялось :

Код:
x = -19578556686240310295378317903565
z = 418962851513108789978912616277180591709694

y = -73824191440004541629580002277896931688661875254219846484796640446223251877

(я сосчитал новое $y$ по известным $x, y, z,$ и проверил с новым $y$ равенство $1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz$ в WolframAlpha. Не знаю, насколько такому результату можно верить). Увы, никакого понимания, как по-настоящему решается эта задача, у меня не возникло.

(Оффтоп)

У нас, у физиков, таких чисел в жизни не бывает; они даже в страшном бредовом сне не приснятся :-) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение22.03.2024, 01:41 


14/09/16
281
Пришла следующая идея
замена $z=mx+ny+l$
получим $1+x^2+x^3+y^2-9xy(mx+ny+l)=0$ Считаем l-числом.
поделим на $y$ и зная, что $(1+x^2+x^3) $ делится на $y$
получим $p_1+y-9x^2m-9xn-9xl=0$
дальше скомпонуем, так чтобы у нас получилось произведение сомножителей..
$p_1+y-9x^2m-9xny-9xyl=0$
возьмем $l$ девять в степени.
$p_1+y-9x^2m-9xny-9xl=0$
В итоге мы можем подбирать числа так чтобы, они превратились в произведение.
$p_1+y(1-9xn)-9x^2m-9xl=0$
Дальше дело в том, чтобы находить общие делители и подобрать соответствующие $m,n,l$
$p_1+y(1-9xn)-9x(xm-l)=0$
Должно получится, всегда можно найти такую комбинацию.
дальше получится Примерно
$(y-9x)(1-9q)=p_1$
Отсюда в ответах такие большие числа
Придется делить многочлен на многочлен и смотреть, чтобы не было дробей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение25.03.2024, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Можно заметить, что в решениях maxal
$$y\approx\frac{x+x^2}{9z}$$
с достаточной точностью, т.е. один корень много меньше другого.
Правда, неясно, чем это может помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение25.03.2024, 18:35 
Аватара пользователя


18/10/21
66
А физический смысл в этом есть?
Или профит здесь лишь в том, что наглядно видно, что неразрешимость диофантовых уравнений не доказывает $P \neq NP$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение26.03.2024, 13:27 


16/08/19
113
Тут раньше Vadim32 предлагал алгоритм поиска с разложением на множители
Для 40-разрядных чисел это кажется безумием
Но тем не менее, в порядке безумия:

В первом варианте от maxal имеем:
x = -19578556686240310295378317903565
y = 101658411567714319887
z = 418962851513108789978912616277180591709694

Берется произвольный y = 101658411567714319887, возводится в квадрат, прибавляется 1,
здесь y = 3 * 110066147 * 307870658807
Факторизуется результат:
y² + 1 = 2 * 5 * 17 * 37 * 73 * 349 * 130369 * 212669 * 2325997176536213467129
Дальше перебираем все возможные комбинации из этих делителей, например:
x = 2 * 5 * 2325997176536213467129
x = 5 * 17 * 73 * 2325997176536213467129
x = 5 * 37 * 349 * 130369 * 2325997176536213467129
В последнем случае мы получим тот самый x

Здесь есть два момента:
1. Выбор y - у меня нет никаких идей, кроме одной - нечетный игрек кратен трем
2. Факторизация 40-разрядных чисел - это такое себе, оно конечно реально, но процессор обречен на долгое нагревание окружающей среды

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение26.03.2024, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
mathpath
Не думаю, что этот перебор сильно поможет продвинуться в поиске других решений. Это же олимпиадная задача, наверное должна быть какая-то красивая редукция.

Можно еще уравнение рассматривать как кубическое. Один корень будет целым $x_1$, два других сопряженные (иррациональные или комплексные) $x_2, x_3$ с одинаковой целой частью, причем
$$-(1+y^2)=x_1\cdot x_2\cdot x_3 = x_1 (x_1^2+x_1-9yz)$$
Для пары $y_1, y_2$ будем иметь:
$$x_2'\cdot x_3'=(\alpha+\sqrt{\beta})(\alpha-\sqrt{\beta}) =\alpha^2-\beta= x_1^2+x_1-9y_1z$$
$$x_2''\cdot x_3''=(\alpha+i\sqrt{\gamma})(\alpha-i\sqrt{\gamma}) =\alpha^2+\gamma= x_1^2+x_1-9y_2z$$
Ну и, конечно,
$$y_1\cdot y_2=1+x_1^2+x_1^3$$
$$y_1+y_2=9x_1z$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение09.04.2024, 14:26 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Вот два компактных решения с целыми $x,y$ и полуцелым $z$
$x = 13, y = 1578, z = 27/2$
$x = -81365, y = 20624682, z = 15/2$
Без прямого перебора с использованием средств PARI/GP. для эллиптических кривых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение10.04.2024, 18:37 


23/02/12
3334
scwec в сообщении #1635822 писал(а):
Вот два компактных решения с целыми $x,y$ и полуцелым $z$
$x = 13, y = 1578, z = 27/2$
$x = -81365, y = 20624682, z = 15/2$
Без прямого перебора с использованием средств PARI/GP. для эллиптических кривых.
Я писал об этом в начале темы.
vicvolf в сообщении #1632713 писал(а):
При различных целых значениях $z$ мы получаем эллиптическую кривую над кольцом целых чисел. Характеристика кольца целых чисел равна $0$, поэтому путем преобразования координат наша эллиптическая кривая приводится к канонической форме $y^2=x^3+ax+b$, т.е. к нормальной форме Вейрштрасса.
Но использовать это свойство для нахождения целых решений не представляется возможным. Поэтому для решения задачи требуется перебор, что снижает ее ценность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение11.06.2024, 11:09 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Исходное уравнение определяет семейство эллиптических кривых с параметром z.
Уравнение фактически записано в форме Вейерштрасса, нужна только замена $X=-x$
Тогда $y^2+9Xyz=X^3-X^2-1$ и инициализационный вектор $[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6]=[9z, -1, 0, 0, -1]$,
Рациональные точки на этих кривых при целых $z$ записываются как $X=\dfrac{m}{q^2}, y=\dfrac{n}{q^3}$. где $m,n,q$
целые числа и $\gcd(m,q)=\gcd(n,q)=1$.
Таким образом $n^2+9mnqz=m^3-q^2{m^2}-q^6$
Для $q=1$ два решения его здесь приведены maxal
Приведу решения с $q=2,3,5$ сразу для переменных $x,y,z$ (найдены с помощью Pari/GP без прямого перебора $m,n$)
$x=-\dfrac{518465}{2^2},y=\dfrac{225652149}{2^3},z=42$
$x=\dfrac{5}{3^2},y=\dfrac{1}{3^3},z=8$
$x=\dfrac{1}{5^2}, y=\dfrac{3}{5^3},z=116$
Известны также решения с целыми $z$ для $q=6,9,12,20,30,179,267$
Возможно, представит интерес нахождение решений с другими $q$
Сообщение подготовлено в апреле 2024 г.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение17.08.2024, 08:48 


16/08/05
1152
Просто некоторые наблюдения. В иксах известных решений есть огромное простое. Зная только его и решая соответствующие сравнения, можно получить сами решения.

Пусть $x=a p$, где $p$ наибольший простой делитель $x$.

Тогда $y$ находим из сравнения $1+y^2\equiv 0 \pmod p$.

Затем решим сравнение $1+x'^2+x'^3\equiv 0 \pmod y$,

найдем $a'$ решая $a' p\equiv x' \pmod y$,

и тогда $a=a'$ если $x$ положительный, или $a=a'-y$ если $x$ отрицательный.

(код для проверки)

Код:
p= 2325997176536213467129;

\\  p= 1611312908701618227721096799976372690229;

  Y= lift(polrootsmod(1 + 'y^2, p)~);
 
  for(i=1, #Y,

   y= Y[i]; ch= Mod(1,3);

   if(y%6==3, if(issquarefree(y),

    YM= factorint(y/3);

    for(j=1, #YM~,

     py= YM[j,1];

     X= polrootsmod(1 + 'x^2 + 'x^3, py)~;

     if(#X,
      ch= chinese(ch, X[1])
     )
    )

   ));

   if(ch != Mod(1,3),

    Xo= lift(polrootsmod(p*'x - lift(ch), y)~);

    x= Xo[1]*p; z= (1+x^2+x^3+y^2)/(9*x*y);

    if(z==floor(z),
     print("\n("x", "y", "z")    "p"\n");
    );

    x= (Xo[1]-y)*p; z= (1+x^2+x^3+y^2)/(9*x*y);

    if(z==floor(z),
     print("\n("x", "y", "z")    "p"\n");
    )

   )
  )

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение23.09.2024, 11:43 


16/08/05
1152
$(x,y,z)$=(-707898957401771913757226, 6377985188886147, 8730045949720501300467109875755)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 79 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group