Квадрат 12х12 разрезать 1 раз и сложить прямоугольник 16х9

[Cnupm]

Квадрат 12х12 разрезать на 2 части и сложить из них прямоугольник 16х9

Вопрос не в том есть ли решение. Оно есть. Вопрос единственное ли оно?
Не выкладываю решение. Вдруг кто-то хочет сам его найти.

[B@R5uk]

Cnupm в сообщении #1649694 писал(а):

Вопрос единственное ли оно?

А что вы вообще знаете про доказательство единственности в задачах на разрезание?

[Cnupm]

B@R5uk
Ничего. За этим и создал тему.

[dgwuqtj]

Раз вы строгие условия задачи не приводите, давайте я попробую доказать единственность при куче дополнительных предположений. Разрезать квадрат (и прямоугольник) будем ломаной, у которой звенья горизонтальные и вертикальные. Обе ломаные простые и лежат строго внутри фигуры, кроме своих концов. Части, на которые распадутся обе фигуры, должны совмещаться параллельными переносами. Исследовать единственность будем с точностью до действия группы $\mathrm V_4$ (то есть с точностью до вертикальных и горизонтальных отражений).

Посмотрим на прямоугольник, положим его горизонтально. Так как он шире квадрата, ломаная должна иметь по одному концу на верхней и нижней стороне (строго внутри сторон, она же не может приходит в углы). Поэтому удобно называть части, на которые разделился прямоугольник, правой и левой. Заметим, что при переносе левая сторона прямоугольника должна оказаться на левой стороне квадрата, а правая — на правой (иначе одна из вертикальных сторон квадрата будет целиком покрыта одной частью прямоугольника, которая слишком низкая). Кроме того, при переносе один из левых углов прямоугольника должен отобразиться в угол квадрата, опять же потому что правая часть слишком низкая. Не умаляя общности, левый нижний угол прямоугольника переходит в левый нижний угол квадрата. Тогда верхняя сторона квадрата покрывается правой частью (а нижняя — левой). То есть мы знаем, где находятся концы ломаной, которой мы резали прямоугольник, они отстоят на 12 от левой нижней и правой верхней вершин по горизонтали.

Теперь мы знаем, на какие векторы переносились обе части прямоугольника. Легко проверить, что ломаная, начиная сверху, имеет длины звеньев 3, 4, 3, 4, 3, и направлена вниз и вправо. Так что разбиение единственно и имеет группу симметрий $\mathrm C_2$.

[Cnupm]

dgwuqtj
Самый очевидный случай не очень интересно. Понятно, что единственность с точностью до поворота на 90 градусов. Что если разрез не прямоугольный, а ломаной общего вида, а то и гладкой кривой.

[B@R5uk]

Как ни крути, а частей-то две: после переноса они складываются своим разрезом либо со сторонами, либо с другой частью разреза. У двух складываемых фигур часть контура должна повторять и контур части периметра квадрата, и контур части периметра прямоугольника. Такое возможно только если прямоугольник и квадрат после переноса фигуры имеют общие вершины и стороны при ней. Нет совсем никакого простора для кручения-верчения фигур.

[dgwuqtj]

Вы можете тогда хоть жордановой дугой резать, вряд ли это сильно повлияет на сложность. Я сомневаюсь, что можно придумать совсем короткое доказательство. Там непонятно, можно ли совмещать куски чем-то, отличным от действия $\mathbb R^2 \rtimes \mathrm D_4$. Ну и разрезы могут совмещаться частично со сторонами, а частично с разрезом.

Я пока только умею доказывать, что разрез прямоугольника должен иметь концы строги внутри противоположных длинных сторон.

[B@R5uk]

Тут дело в том, что квадрат должен полностью покрываться двумя прямоугольниками. Или наоборот прямоугольник двумя квадратами. При этом эти две копии прямоугольника будут пересекаться. Надо будет удалить с каждой копии лишние части площади так, чтобы они с одной стороны складывались в квадрат без зазора, а с другой — назад в исходный прямоугольник.

Простор для различных решений может возникнуть тут двух местах: в различных покрытиях одной фигуры другой и в возможности компенсировать форму выреза в одной копии формой выреза в другой копии. Первая свобода здесь отсутствует, потому что квадрат можно покрыть прямоугольником только одним рабочим способом, остальные либо не покроют его полностью, либо приведут в тупик. Вторая свобода убивается тем, что при переносе разрез должен повторять периметр квадрата и прямоугольника. Та часть где он сам с собой совмещается будет повторять эти контуры за счёт параллельного переноса.

Это хорошо иллюстрируется, если на прямоугольнике вблизи противоположных вершин на разных сторонах есть вырез и выступ комплиментарной формы. При разрезании этого модифицированного прямоугольника эта форма скопируется на ступеньки разреза два раза.

-- 15.08.2024, 17:02 --

Если хотите свободу для модификации решения, то берите разрез на три части.

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1650154 писал(а):

Простор для различных решений может возникнуть тут двух местах: в различных покрытиях одной фигуры другой и в возможности компенсировать форму выреза в одной копии формой выреза в другой копии.

Это всё слишком рукомахательно.

Я вроде придумал доказательство единственности при разрезании жордановыми кривыми. Если коротко, план такой:
1. Посмотрим на жорданову дугу, которая разрезает прямоугольник. Тогда её концы должны находиться строго внутри пары противоположных сторон. Иначе в одном куске образуется пара точек на расстоянии $\sqrt{16^2 + 9^2} > 12 \sqrt 2$.
2. Если эта дуга соединяет короткие стороны, то каждый кусок в квадрате покрывает участок границы длины меньше $24$ (собственное подмножество пары смежных сторон, ну и ещё максимум пару точек на других двух сторонах). Так что этот случай отпадает.
3. Значит, дуга соединяет длинные стороны. Если какой-то кусок в квадрате будет повёрнут (перемещён чем-то не из $\mathbb R^2 \rtimes \mathrm D_4$, то есть горизонтальные и вертикальные направления станут наклонными), то из границы квадрата он опять покроет участок длины меньше $24$ (собственную часть пары смежных сторон и ещё не более двух точек). Иначе это тоже так (он покрывает собственную часть пары смежных или пары противоположных сторон), кроме случая, когда одна из вершин прямоугольника переходит в вершину квадрата, тогда можно покрыть максимум сторону квадрата и части двух прилегающих сторон.
4. Следовательно, с точностью до симметрий обе части прямоугольника были перемещены в квадрат параллельными переносами и, возможно, вертикальными и горизонтальными отражениями. Можно проверить перебором, что отражений не было, а параллельные переносы — те, какие надо.
5. Зная, как части перемещались, уже легко восстановить сам разрез.