Топология из Виро на множестве натуральных чисел

[SomePupil]

В книжке Виро и ко приводится следующий пример топологии на множестве натуральных чисел:

Цитата:

Рассмотрим следующее свойство подмножества $F$ множества натуральных чисел $\mathbb{N}$: существует такое $N \in \mathbb{N}$, что $F$ не содержит арифметической прогрессии длиной больше $N$. Докажите, что набор, состоящий из таких подмножеств и всего множества N, образует совокупность замкнутых множеств некоторой топологии в $N$.

Или, равносильно, открытые множества этой топологии представляют собой подмножества $\mathbb{N},$ содержащие сколь угодно длинные арифметические прогрессии. В частности, множества, содержащие бесконечные арифметические прогрессии, являются открытыми в этой топологии. Кроме того, пользуясь теоремой Семереди, можно строить подмножества $\mathbb{N}$, содержащие сколь угодно длинные конечные арифметические прогрессии, но не содержащие бесконечной арифметической прогрессии. Значит, эта топология строго сильнее топологии Голомба, база которой состоит из множеств, содержащих беск арифм прогрессии.

В статье Вики утверждается, что $\mathbb{N}$ составляет хаусдорфово пространство относительно топологии Голомба. Значит, топология из примера также является хаусдорфовой. Мне интересны дальнейшие свойства топологии из примера. Например, регулярна ли она? То есть, для произвольного замкнутого множества и точки, лежащей вне его, всегда ли мы можем найти непересекающиеся окрестности замкнутого множества и точки? И является ли исходная топология связной в том или ином смысле?

[mihaild]

SomePupil в сообщении #1650075 писал(а):

Или, равносильно, открытые множества этой топологии представляют собой подмножества $\mathbb{N},$ содержащие сколь угодно длинные арифметические прогрессии

Нет, из того что множество содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии, еще не следует, что его дополнение не содержит сколь угодно длинных арифметических прогрессий.
Открыты множества, содержащие бесконечно много членов из любой арифметической прогрессии.

SomePupil в сообщении #1650075 писал(а):

топологии Голомба, база которой состоит из множеств, содержащих беск арифм прогрессии.

Нет, из множеств, являющихся бесконечными арифметическими прогрессиями. Это большая разница, например множество $\{1, 2, 4, 6, 8, 10, \ldots\}$ содержит бесконечную арифметическую прогрессию, но не открыто в топологии Голомба.

SomePupil в сообщении #1650075 писал(а):

строго сильнее топологии Голомба

Соответственно тоже нет: множество четных чисел открыто в топологии Голомба, но не в топологии Виро.

[SomePupil]

mihaild, все так. Моя ошибка. Тогда исходная топология, наоборот, строго слабее топологии Голомба, и к вопросам выше добавляется еще вопрос о (не)хаусдорфовости.

mihaild в сообщении #1650104 писал(а):

но не в топологии Виро.

Топологии из книжки Виро все же. Топологию Виро еще предстоит открыть и назвать .

-- 15.08.2024, 13:26 --

Рассмотрим $n_1, n_2 \in \mathbb{N},$ тогда вопрос пересечения их окрестностей $U$ и $V$ сводится к вопросу о существовании множества, который содержит бесконечно много элементов любой арифметической прогрессии и одновременно не содержит никакой арифметической прогрессии длиной больше $N.$ Весьма сомнительно, что такое множество существует, но не могу сообразить, как это быстро доказать.

[dgwuqtj]

SomePupil в сообщении #1650111 писал(а):

вопросу о существовании множества, который содержит бесконечно много элементов любой арифметической прогрессии и одновременно не содержит никакой арифметической прогрессии длиной больше $N.$

Разумеется, такое есть. Напишем последовательность арифметических прогрессий $A_1, A_2, \ldots$ так, что любая арифметическая прогрессия встречается в этом списке бесконечно много раз. Теперь, пользуясь неограниченностью всех $A_i$, выберем из них по очереди элементы $a_i \in A_i$ так, что $a_{i + 1} > 2 a_i$ (ну и $a_1 > 0$, если у нас натуральные числа с нулём). Понятно, что в выбранном множестве нет даже арифметических прогрессий длины 3.

[mihaild]

SomePupil в сообщении #1650111 писал(а):

Рассмотрим $n_1, n_2 \in \mathbb{N},$ тогда вопрос пересечения их окрестностей $U$ и $V$ сводится к вопросу о существовании множества, который содержит бесконечно много элементов любой арифметической прогрессии и одновременно не содержит никакой арифметической прогрессии длиной больше $N.$

Такое множество будет замкнутым, но не факт что открытым (из того что оно содержит бесконечно много элементов любой арифметической прогрессии не следует, что его дополнение не содержит сколь угодно длинных арифметических прогрессий; пример dgwuqtj как раз содержит).

Пространство нехаусдорфово, потому что вообще любые два открытых множества пересекаются. Пусть $U$ и $V$ - непересекающиеся открытые множества. Тогда $\bar U$ и $\bar V$ - замкнутые, в объединении дающие все натуральные числа. Раз они замкнуты, то они не содержат арифметических прогрессий длины больше $k$. Но любое разбиение чисел от $1$ до $W(2, k)$ (из теоремы Ван-дер-Вардена) на два множества содержит арифметическую прогрессию длины $k$.

-- 15.08.2024, 12:39 --

SomePupil в сообщении #1650075 писал(а):

пользуясь теоремой Семереди, можно строить подмножества $\mathbb{N}$, содержащие сколь угодно длинные конечные арифметические прогрессии, но не содержащие бесконечной арифметической прогрессии

Это из пушки по воробьям. Возьмите $\bigcup_n [3^n, 3^n + n]$.

[SomePupil]

mihaild в сообщении #1650122 писал(а):

Тогда $\bar U$ и $\bar V$ - замкнутые, в объединении дающие все натуральные числа.

Почему они в объединении дают все натуральные числа?

[mihaild]

SomePupil в сообщении #1650124 писал(а):

Почему они в объединении дают все натуральные числа?

$\bar U \cup \bar V = \overline{\overline {\bar U \cup \bar V}} = \overline{\overline{\bar U} \cap \overline{\bar V}} = \overline{U \cap V} = \bar \varnothing = \mathbb N$

[SomePupil]

Кстати, dgwuqtj по факту построил clopen множество. Значит, исходная топология несвязна.

-- 15.08.2024, 14:54 --

mihaild, если это работает, то это сработает и для непересекающихся окрестностей точек $x,y \in \mathbb{R}$ в обычной топологии и приведет к нонсенсу...

[dgwuqtj]

SomePupil в сообщении #1650126 писал(а):

Кстати, dgwuqtj по факту построил clopen множество.

Нет, моё множество замкнуто, но не открыто. В его дополнении есть сколь угодно большие арифметические прогрессии, хотя бы потому что само множество достаточно разрежённое. А для обычной топологии $\mathbb R$ нет теоремы ван дер Вардена...

[mihaild]

SomePupil в сообщении #1650126 писал(а):

если это работает, то это сработает и для непересекающихся окрестностей точек $x,y \in \mathbb{R}$ в обычной топологии

Нет, не приведет, потому что в обычной топологии бывают нетривиальные замкнутые множества, объединение которых - всё пространство.

mihaild в сообщении #1650122 писал(а):

Но любое разбиение чисел от $1$ до $W(2, k)$ (из теоремы Ван-дер-Вардена) на два множества содержит арифметическую прогрессию длины $k$.

Тут у нас конечно не разбиение ($\bar U$ и $\bar V$) могут пересекаться, но не страшно - запишем все элементы пересечения в $\bar U$ перед применением теоремы Ван-дер-Вардена.

[SomePupil]

mihaild в сообщении #1650125 писал(а):

$\overline{\overline{\bar U} \cap \overline{\bar V}} = \overline{U \cap V}$

Вот этот переход конкретно для исходной топологии? Потому что, например, легко придумать интервалы на прямой, такие что $\overline{\bar U} \ne U.$

[mihaild]

SomePupil в сообщении #1650129 писал(а):

Вот этот переход конкретно для исходной топологии?

Этот конкретный переход для абсолютно любых множеств. $\bar \cdot$ в данном случае - это дополнение, а не замыкание.

[SomePupil]

Оказывается, такого рода пространства носят название гиперсвязных или неприводимых - соответствующая статья Hyperconnected space в Википедии. Занятно, спасибо Вам обоим за ответы.