Вопросы по ОТО. Паралельный перенос?

[ersh]

Как то попадалось упоминание что паралельный перенос не единственно возможный в искривленных пространствах. Например есть перенос Ли. Но теория гравитации на паралельно переносе единственно верная. В связи с этим возникает вопрос а почему собственно паралельный перенос и как до него вообще додумались.

Придумал аналогию с бусинкой на проволочке и как додумались до паралельного переноса вроде понятно, но возникло еще больше вопросов. Может кто-нибудь просветит меня по ним?

Аналогия с бусинкой на проволочке

Если представить бусинку скользящею по проволочке, то ее импульс будет меняться под действием силы реакции опоры.



Думаю, что при движении бусинки вектор ее импульса под действием силы реакции опоры будет меняться в точности как при паралельном переносе. То есть, думаю, паралельный перенос придумали непосредственно из наблюдений. (Доказать, что импульс меняется как при паралельно переносе не знаю как, но по этому поводу ожидаю что так и есть и не напрягаюсь пока).

Но вот возникают другие вопросы:

1) Импульс бусинки при движении по искривленной проволочке все время уменьшается. Длина катетов в декартовом пр-ве всегда меньше гипотенузы. Вопрос как в ОТО при движении в искривленном пр-ве телом приобретается импульс и энергия? Так как у нас пр-во Миньковского и длина "катетов" наверно может больше гипотенузы, то приобретение энергии возможно. Но интересно как это происходит?

2) В курсах по ОТО демонстрируют например черную дыру воронкой. Но мы воспринимаем, что тело скатывается в воронку, только потому, что у нас все тела скатываются вниз под действием силы тяжести. Но в искривленном пр-ве-времени нет никакой силы направленной вниз воронки вне пр-ва-времени.



Но в гравитации причина скатывания другая. Не поле силы тяжести под воронкой. Вопрос как соотносятся картинки с курсов ОТО с реальностью? Это какая-то проекция? Как она стротся? Тем более еще в 3-х мерии можно отобразить только 2х мерную искривленную поверхность. То есть либо tx либо xy. И какие x,y,z,t отображают?

3) Воронку черной дыры отображают горлышком вниз. По идее ее можно спокойно развенуть горлышком вверх и эта будет таже самая черная дыра. Так как свойства гравитации зависят только от кривизны пр-ва воронки, а не от ее направления. Но при встрече этих воронок, наверное, их взаимная ориентация на что-то влиять. Так вот не понятно есть ли вообще такая ориентация или это глюк проекции.

4) Эйнштейн говорил, что правая часть его ур-ний, тензор энергии-импулься, не обоснованна. Предположим, что изогнутая проволочка жесткая но вообще может гнуться. Тогда бусинка будет стремиться лететь прямо и будет изгибать проволочку в направлении своего движения. Причем изгибать с силой пропорциональной своему импульсу. Если тела в пр-ве-времени стремяться сохранить прямолинейное направление своего вектора энергии-импулься, то сила с которой они будут действовать на пр-во-время будет пропроциональна их энергии-импульсу. Тогда коэфицеент жесткости пр-ва-времени обратно пропорционален гравитационной постоянной и очень большой. То есть гравитация не самая слабая сила, а самая сильная. Ну может это бред. Просто так придумалось. Как думаете есть ли в этом что-то интересное?

-- 12.08.2024, 08:57 --

Тут походу у меня основной тезис еще не верен
Если закрутить волчок без трения, то он будет без трения крутиться вечно же. А если бусинку запустить по кольцу без трения, то она же тоже должна крутиться вечно. А если паралельный перенос, то катеты меньше гипотенузы и бусинка должна рано или поздно остановиться. То есть, модуль импульса на проволочке сохраняется и паралельного переноса нет.
Тогда вопрос откуда паралельный перенос придумали?

[sergey zhukov]

ersh
Что такое параллельный перенос по вашему?

[warlock66613]

ersh в сообщении #1649555 писал(а):

как соотносятся картинки с курсов ОТО с реальностью?

Увы, никак не соотносятся. Хуже всего, что они показывают искривление пространства, тогда как на самом деле важно искривление пространства-времени. Ну и та причина которую вы описали тоже имеет место. В общем, картинки абсолютно оторваны от реальности.

[D.Mozer]

ersh в сообщении #1649555 писал(а):

есть, модуль импульса на проволочке сохраняется и паралельного переноса нет.

Он есть, просто тут параллельный перенос по внутренней кривизне, а не внешней. А внутренняя кривизна окружности равна нулю, поэтому ее можно распрямить в отрезок (отождествив по топологическим соображениях противоположные точки), и там просто двигать под тем же углом

[drzewo]

ersh в сообщении #1649555 писал(а):

Аналогия с бусинкой на проволочке

плохая аналогия: параллельно переносить вдоль кривой можно любой вектор, а импульс -- это вектор касательный к кривой

[epros]

drzewo в сообщении #1649566 писал(а):

плохая аналогия: параллельно переносить вдоль кривой можно любой вектор, а импульс -- это вектор касательный к кривой

Ну, всё не так уж плохо. Перенос вектора вдоль него самого определяет понятие геодезической. А определение того, какие из кривых являются геодезическими, почти полностью определяет связность пространства, в том числе и понятие переноса вектора не вдоль него самого определяется с точностью до кручения, то бишь антисимметричной части связности, кою в большинстве случаев проще всего считать нулевой.

-- Пн авг 12, 2024 11:51:03 --

По-моему, минус примера с бусиной на проволоке в том, что проволока - одномерное пространство. А в одномерном пространстве любой перенос - параллельный, а любая кривая - прямая. Содержательность у понятия параллельного переноса появляется тогда, когда есть повороты. Таким образом, параллельными считаются те переносы, которые "без поворота".

[drzewo]

Я сперва подумал, что речь идет о параллельном перености вдоль кривой на многообразии $\mathbb{R}^3$ со стандартной римиановой метрикой. Но тогда это просто неверно, что касательный вектор при переносе перейдет в касательный.

[epros]

Это же просто определение геодезической:

Википедия в статье про геодезическую линию писал(а):

кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде

[drzewo]

слово <<геодезическая >> ТС не произносил, я , кстати, тоже

[epros]

Если я правильно его понял, то он пытался "физически" промоделировать параллельный перенос в искривлённых пространствах с помощью скользящей вдоль проволоки бусины, при котором импульс бусины "переносится" таким образом, что всегда остаётся касательным к проволоке. Таким образом, проволока здесь играет роль геодезической.

[ersh]

sergey zhukov в сообщении #1649558 писал(а):

ersh
Что такое параллельный перенос по вашему?

Ну например допустим на изогнутом пр-ве-времени определено некое векторное поле. Для построения динамика надо уметь вычислять $\frac{dF}{dx}$ производную по полю. И надо уметь сравнивать вектора. Для сравнения векторов придумали паралельный перенос. Представляем, что поверхность искривленного пр-во-времени находиться в неком объемлещем многомерном пространстве. Все векторы поля касательные к поверности пр-ва-времени.
(

drzewo в сообщении #1649566 писал(а):

плохая аналогия: параллельно переносить вдоль кривой можно любой вектор, а импульс -- это вектор касательный к кривой

Тут вроде же все векторы и импульс и не импульс и энергия-импульс касательные к пр-ву-времени. Разве не так?
)
Для сравнения векторов поля в 2-х близлежащих точках паралельно (паралельно как в евклидовом пр-ве.) переносим вектор в объемлищем многомерном эвклидовом пр-ве из первой точки во вторую. Этот вектор уже не факт что будет касательным к пр-ву-времени. Но производная поля, в смыле разница вектора 1 с вектором 2) тоже вектор пр-ва-времени и вроде как должна касательной к пр-ву-времени. Для этого строим касательную плоскость к пр-ву-времени в многомерном пр-ве. По ортогонали опускаем (проэктируем) первый вектор во второй точке в касательную плоскость. Эту касательную проекцую уже считаем "паралельно" перенесенным вектором. И строя производную вычисляем разницу между этой проекцией первого вектора и вторым вектором во второй точке поля.

Вот описал что подразумеваю под паралельным переносом. Вроде же верно понимаю?
Ну как придумываешь какое-то нестандартное применение вроде понятной идеи выясняется, что идею как-то не доконца понимаешь. И выхватываешь глюки. Нестандартное применение у меня то что пытаюсь применить паралельный перенос к вектору энергии-импульса. Глюк наверно то, что я вместо сравнения векторов паралельным переносом подразумеваю, что паралельный перенос определяет эволюцию вектора энергии-импульса. То не сравниваю вектора энергии-импульса в 2 точках, а считал, что вектор перейдя из первой точки во вторую будет проекцией вектора в первой точке в касательной пл-ти во второй точке. Собственно наверно из-за этого большая часть вопросов. Правда доконца не понятно еще...

Еще 2 сюрьприза всплыло.
Первое. Так как проектируем в объемлещем евклидовом пр-ве, то евклидовом пр-ве длина катета всегда меньше или равна гипотенузе. То есть длина проекции всегда меньше или равна длине исходного вектора.
Второе. При движении планеты по круговой орбите модуль импульса сохраняется меняется только направление. Модуль вектора энергии-импульса вроде всегда $mc^2$. То есть он сохраняется в любых искривленных пр-вах. То есть вектор энергии-импулься только поворачивается в гравитационном поле. Я как-то наивно полагал что модуль меняется.

-- 12.08.2024, 17:54 --

D.Mozer в сообщении #1649565 писал(а):

ersh в сообщении #1649555 писал(а):

есть, модуль импульса на проволочке сохраняется и паралельного переноса нет.

Он есть, просто тут параллельный перенос по внутренней кривизне, а не внешней. А внутренняя кривизна окружности равна нулю, поэтому ее можно распрямить в отрезок (отождествив по топологическим соображениях противоположные точки), и там просто двигать под тем же углом

Первый раз про какую-то внутреннию и внешнию кривизну слышу. По моему кривизна либо есть либо нет. То есть либо искривленная либо прямая, плоскость и т.д. И вообще кривизна окружности вроде $G = \frac{1}{R}$. Где-то давно такое читал.

-- 12.08.2024, 18:04 --

epros в сообщении #1649578 писал(а):

Это же просто определение геодезической:

Википедия в статье про геодезическую линию писал(а):

кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде

epros в сообщении #1649567 писал(а):

drzewo в сообщении #1649566 писал(а):

плохая аналогия: параллельно переносить вдоль кривой можно любой вектор, а импульс -- это вектор касательный к кривой

Ну, всё не так уж плохо. Перенос вектора вдоль него самого определяет понятие геодезической. А определение того, какие из кривых являются геодезическими, почти полностью определяет связность пространства, в том числе и понятие переноса вектора не вдоль него самого определяется с точностью до кручения, то бишь антисимметричной части связности, кою в большинстве случаев проще всего считать нулевой.

-- Пн авг 12, 2024 11:51:03 --

По-моему, минус примера с бусиной на проволоке в том, что проволока - одномерное пространство. А в одномерном пространстве любой перенос - параллельный, а любая кривая - прямая. Содержательность у понятия параллельного переноса появляется тогда, когда есть повороты. Таким образом, параллельными считаются те переносы, которые "без поворота".

Исходя из определения геодезической мое понимание паралельного переноса где-то неверно. Но в книжках, которые я давно читал, вроде так объясняли как я написал. Какое правильное определение паралельно переноса?

[Утундрий]

ersh в сообщении #1649594 писал(а):

Так как проектируем в объемлещем евклидовом пр-ве, то евклидовом пр-ве длина катета всегда меньше или равна гипотенузе. То есть длина проекции всегда меньше или равна длине исходного вектора.

Это если брать в точности проекцию, чего делать вовсе не обязательно.

[ersh]

Утундрий в сообщении #1649605 писал(а):

ersh в сообщении #1649594 писал(а):

Так как проектируем в объемлещем евклидовом пр-ве, то евклидовом пр-ве длина катета всегда меньше или равна гипотенузе. То есть длина проекции всегда меньше или равна длине исходного вектора.

Это если брать в точности проекцию, чего делать вовсе не обязательно.

Почему не обязательно? Если не брать в точности проекцию, а что- то плюс минус, результат паралельно переноса не однозначен. А это для ур-ний плохо. Может вы дадите свое определение паралельного переноса?

[Утундрий]

ersh в сообщении #1649608 писал(а):

Может вы дадите свое определение паралельного переноса?

Пусть наша поверхность куда-то вложена и функция $\mathbf y(x)$ реализует это вложение. Посадим в каждой точке поверхности по вектору из касательного пространства: $\mathbf A\equiv A^s {\mathbf y}_{, s}$ и тупо продифференцируем это животное, учтя что ${\mathbf y}_{,ik}=\Gamma^s_{ik}{\mathbf y}_{,s}+{\mathbf b}_{ik}$, где $\langle {\mathbf b}_{ik} | {\mathbf y}_{,s}\rangle=0$. В результате получим $\mathbf A_{,i}=\left( A^s_{,i}+A^m \Gamma^s_{mi}\right){\mathbf y}_{,s}+\ldots$ Вот вам и ковариантная производная. Теперь можно свернуть её с $dx^i$ и получить ковариантный дифференциал. Потом можно ещё немного поднатужиться и родить некую благоглупость о примате связности над материей метрикой, но это будет уже совсем другая история.

[ersh]

Утундрий в сообщении #1649615 писал(а):

ersh в сообщении #1649608 писал(а):

Может вы дадите свое определение паралельного переноса?

Пусть наша поверхность куда-то вложена и функция $\mathbf y(x)$ реализует это вложение. Посадим в каждой точке поверхности по вектору из касательного пространства: $\mathbf A\equiv A^s {\mathbf y}_{, s}$ и тупо продифференцируем это животное, учтя что ${\mathbf y}_{,ik}=\Gamma^s_{ik}{\mathbf y}_{,s}+{\mathbf b}_{ik}$, где $\langle {\mathbf b}_{ik} | {\mathbf y}_{,s}\rangle=0$. В результате получим $\mathbf A_{,i}=\left( A^s_{,i}+A^m \Gamma^s_{mi}\right){\mathbf y}_{,s}+\ldots$ Вот вам и ковариантная производная. Теперь можно свернуть её с $dx^i$ и получить ковариантный дифференциал. Потом можно ещё немного поднатужиться и родить некую благоглупость о примате связности над материей метрикой, но это будет уже совсем другая история.

Мда мне чтоб понять это определение придется зарыться в учебники . Запятая в индексах у вас это производная или что?