Вопросы по ОТО. Паралельный перенос?

[epros]

ersh в сообщении #1649594 писал(а):

Исходя из определения геодезической мое понимание паралельного переноса где-то неверно.

В чём именно неверно?

ersh в сообщении #1649594 писал(а):

Какое правильное определение паралельно переноса?

Зависит от того, с чего Вы хотите начать.

1) Можно начать с метрического пространства (т.е. такого, в котором определены расстояния между точками). Тогда геодезическую определяем как кривую экстремального расстояния между точками. Перенос - это преобразование, сохраняющее расстояния (в локальном смысле). А параллельным можно считать такой перенос, который сохраняет угол между переносимым вектором и геодезической, соединяющей начальную и конечную точки переноса.

2) Но можно определить перенос и вне зависимости от метрики, т.е. когда расстояния не определены. При этом можно считать параллельный перенос неким "изначально заданным" понятием. Т.е. некое удовлетворяющее минимальным требованиям преобразование, отображающее точку $A$ в точку $B$, мы произвольно назовём "параллельным переносом". К "минимальным требованиям" относятся линейность преобразования в малой окрестности точки, являющейся центром переноса, и обратимость преобразования (т.е. обратный параллельный перенос из точки $B$ в точку $A$ возвращает всё "как было"). Если для любой пары точек пространства определён такой "параллельный перенос" из первой точки во вторую, то пространство называется "аффинно-связным". В нём можно определить геодезические как линии, перенос касательных векторов вдоль которых оставляет их касательными.

При втором определении не факт, что для такого пространства можно определить такую метрику, которая бы соответствовала параллельным переносам в смысле первого определения. Но если мы можем определить расстояния (длины векторов) таким образом, что при параллельном переносе вдоль любого замкнутого контура они сохраняются (это соответствует наблюдаемым в физической реальности результатам переносов линеек), то эту метрику можно перенести в любую точку так, что результат не будет зависеть от пути переноса. Так определяется метрика, "согласованная" с данной связностью.

[Утундрий]

ersh в сообщении #1649617 писал(а):

Запятая в индексах у вас это производная или что?

Да. А угловые скобки это скалярное произведение в объемлющем пространстве.

[ersh]

epros в сообщении #1649618 писал(а):

В чём именно неверно?

Сразу не сформулировал и теперь тяжелее восстановить.
Ну попробуем так. Представим сферу в 3-х мерном пр-ве. Поверхность сферы будем условно считать пр-вом временем. В точке сферы определен импульс. Если переносит вектор импульса по направлению импульса паралельным переносом - проекцией, то проекция импульса все время уменьшается. По определению геодезической, вроде как, геодезическая это та линия где вектор не меняется. На сфере эта линия перпендикулярная вектору импульсу. Если импульс идет по такой геодезической, то частица как-бы движется перпендикулярно импульсу. То есть либо неверно что геодезическая это где вектор не меняется, либо неверно что частица движется по геодезической. Импульс определяет направление движения. Либо эти рассуждения не верны для поверности выше 2х мерной, либо неверны для пр-ва с метрикой $ds^2 = dt^2 - dx^$. Либо неверно для вектора энергии-импульса (то есть частица движется пендикулярно вектору энергии-импульса). Либо не верно определение переноса. Либо еще что-то.

epros в сообщении #1649618 писал(а):

т.е. обратный параллельный перенос из точки $B$ в точку $A$ возвращает всё "как было"

Обратный паралельный перенос проекция как раз ничего обратно не возращает. Прямой перенос проектирует уменшает длину вектора. Обратный перенос проектирует и еще сильнее уменьшает длину вектора.

Дальше по вашим определениям ничего пока сказать не могу

[D.Mozer]

ersh в сообщении #1649594 писал(а):

Первый раз про какую-то внутреннию и внешнию кривизну слышу

Ууу, вам бы умные книжки почитать, а не про производные Ли на заборах вычитывать

ersh в сообщении #1649594 писал(а):

По моему кривизна либо есть либо нет. То есть либо искривленная либо прямая, плоскость и т.д. И вообще кривизна окружности вроде $G = \frac{1}{R}$. Где-то давно такое читал.

Ну это по вашему. То что вы говорите это внешняя кривизна, а есть еще внутренняя, она определяет геометрию - сумму углов тругольника там и т.д. Если вы возьмете лист бумаги и свернете его в трубочку, то сумма углов треугольника на ней не поменяется, и будет равна пи, а вот на сфере будет уже больше пи (поэтому нельзя без растяжений из плоского листа сделать сферу). Также внутреннюю кривизну можно рассматривать безотносительно внешей, просто изучая геометрию соответствующего многообразия

[ersh]

D.Mozer в сообщении #1649639 писал(а):

То что вы говорите это внешняя кривизна, а есть еще внутренняя, она определяет геометрию - сумму углов тругольника там и т.д. Если вы возьмете лист бумаги и свернете его в трубочку, то сумма углов треугольника на ней не поменяется, и будет равна пи, а вот на сфере будет уже больше п

Спасибо. Теперь понятно что это такое.

[epros]

ersh в сообщении #1649630 писал(а):

Если переносит вектор импульса по направлению импульса паралельным переносом - проекцией, то проекция импульса все время уменьшается.

Ничего подобного. Перенос по определению не может менять длину вектора. Кстати, для импульса шарика, скользящего вдоль поверхности без трения (и для Вашей бусины на проволоке) это именно так. Шарик поворачивает, не меняя величину скорости. Может даже развернуться в противоположном направлении.

ersh в сообщении #1649630 писал(а):

Обратный паралельный перенос проекция как раз ничего обратно не возращает. Прямой перенос проектирует уменшает длину вектора. Обратный перенос проектирует и еще сильнее уменьшает длину вектора.

Значит то, о чём Вы говорите, не является параллельным переносом.

[ersh]

Пока впечатление что паралельный перенос проекция не верен. Хотя вроде как объяснили когда-то так и запомнил. Видимо неправильно запомнил. Почитал сейчас про паралельный перенос и нигде проекцию не вижу. И даже утверждается что паралельный перенос должен сохранять длину вектора. Что при проекции невозможно.

Спасибо всем Буду тихо офигевать от того сколько времени держаться мои заблуждения

-- 12.08.2024, 22:59 --

Наверно мне говорили такое определение паралельного переноса. Берем паралельно перенесенный вектор в объемлещем пр-ве, строим кратчайшую какую-то к касательной плоскости. Я воспринял кратчайшая - это ортогональ и следовательно это проекция вектора. Про то что длина вектора должна сохраняться упомянуть в той лекции вроде не звучало. Ну вот и заблуждение закрепилось.

[sergey zhukov]

ersh в сообщении #1649652 писал(а):

Пока впечатление что паралельный перенос проекция не верен

Это все ерунда. Выкинте из головы эту идею о том, что вектор куда-то там без конца проецируется и от этого становится все короче и короче. Думайте об этом не как о проекции, а как о повороте вектора.

И вообще, понятие связности и параллельного переноса, а так же ковариантной производной, в первую очередь связано не с наличием внутренней кривизны многообразия (например, искривленное пространство-время), а просто с криволинейными координатами на этом многообразии (потому, что на кривом многообразии можно пользоваться только криволинейными координатами). Поэтому эти вещи проще изучить на плоскости, введя там какие-нибудь криволинейные координаты. Скажем, полярные. Там прекрасно видно, что параллельное перемещение вектора по плоскости не меняет его длины (и никуда ничего проецировать не нужно), зато все компоненты вектора непрерывно меняются. В искривленном пространстве все происходит почти так же, за исключением того, что перенос по разным путям дает разный результат (на плоскости - один и тот же). Собственно, вот эта зависимость результата переноса от пути переноса и называется (грубо говоря) внутренней кривизной.

Могу посоветовать вам еще такой наглядный способ понимания, если вам нравится вложение двумерных искривленных пространств в объемлющее трехмерное. Допустим, у нас есть вектор, и мы хотим параллельно перенести его по некоторой кривой, нарисованной на двумерной искривленной поверхности. Берем ножницы и вырезаем вдоль всей этой кривой тонкую полоску этой двумерной поверхности, а потом раскладываем ее на плоскости. Если эта кривая была геодезической - полоска ляжет по прямой. Если не была - полоска ляжет на плоскость вдоль какой-то кривой. Теперь параллелно переносим по ней вектор, как по плоскости. Понятно: если полоска лежит вдоль прямой, то перенос сохраняет угол между вектором и полоской. Если не лежит вдоль прямой - не сохраняет. Вектор перенесли - вклеиваем полоску обратно.

И еще, по поводу воронки. Воронка - это отражение геометрии двумерного пространства в экваториальной плоскости черной дыры. Только пространства, и только двумерного экваториального среза. Тут нужно понимать, что:

1. Пространство-время четырехмерно, да еще и псевдоевклидово, а на картинке мы можем более менее наглядно отобразить кривизну только двумерного только пространства, да еще только в евклидовом объемлющем трехмерном. Нарисовать искривленное пространство-время почти невозможно;

2. В случае с черной дырой нам повезло: искривленное пространство, во первых, статично, а во вторых, его двумерный срез можно вложить в евклидово трехмерное. В общем случае искривленное двумерное пространство нельзя вложить в трехмерное. Не все искривленные двумерные пространства можно отобразить искривленной поверхностью в плоском трехмерном пространстве.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1649671 писал(а):

Воронка - это отражение геометрии двумерного пространства в экваториальной плоскости черной дыры.

Да, так можно. При этом воронка окажется конечной глубины. Говорю это потому что иногда рисуют воронку, уходящую вниз бесконечно. Геометрия пространственного среза статической системы координат решения Шварцшильда соответствует поверхности, образованной вращением половинки параболы.

[sergey zhukov]

epros
Мне кажется, что вместо двумерной поверхности, имеющей требуемую кривизну, иногда рисуют поверхность, которая означает просто величину кривизны (более общий метод). Тоже получается воронка, только не параболическая. Скажем, в роликах о слиянии ЧД так делают, т.к. в процессе слияния возникает геометрия пространства в экваториальной плоскости, которая не может быть вложена в трехмерное пространство. И такая воронка как раз бесконечно глубокая (ее же и за горизонт можно продлить без проблем).

А если рассматривать "почти" черную дыру, скажем, тело однородной плотности, находящееся на границе коллапса. Насколько глубоко опускается воронка для такого тела? Т.е. геометрия пространства внутри вещества не будет же стремиться к неограниченному растягиванию радиальных расстояний?

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1649724 писал(а):

Мне кажется, что вместо двумерной поверхности, имеющей требуемую кривизну, иногда поверхность означает просто величину кривизны

Всё равно получится воронка конечной глубины, потому что кривизна пространственного трёхмерия в статических координатах Шварцшильда на горизонте конечна. Кстати, число под названием "пространственная кривизна" имеет разные значения в разных плоскостях. Таковых в трёхмерии три штуки, так что придётся выбирать. При описанном выше способе построения воронки такой проблемы не было, потому что мы уже выбрали двумерное сечение, проведя его через радиус.

sergey zhukov в сообщении #1649724 писал(а):

А если рассматривать "почти" черную дыру, скажем, тело однородной плотности, находящееся на границе коллапса. Насколько глубоко опускается воронка для такого тела? Т.е. геометрия пространства внутри вещества не будет же стремиться к неограниченному растягиванию радиальных расстояний?

Внутри при приближении к центру пространственная кривизна будет даже убывать, становясь нулевой в центре. Из этого вряд ли получится что-то, похожее на воронку.

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1649726 писал(а):

Таковых в трёхмерии три штуки, так что придётся выбирать

Ну, эта "воронка кривизны" тоже строится для двумерного пространственного сечения, там кривизна одна. Просто берем и строим поверхность, которая описывает кривизну параболоида Фламма. Причем эту поверхность можно продлить даже туда, где параболоида уже нет, т.е. внутрь "дырки" этого параболоида. На гравитационном радиусе параболоид все еще имеет конечную кривизну, и продлить его дальше под гравитационный радиус таким образом, чтобы его кривизна нарастала и дальше, уже никак невозможно. Можно сказать, что дальше идет область пространства такой кривизны, которую нельзя вложить в виде искривленной поверхности в трехмерное пространство. Но показать величину самой этой кривизны никто не мешает вплоть до самой сингулярности.

epros в сообщении #1649726 писал(а):

Внутри при приближении к центру пространственная кривизна будет даже убывать, становясь нулевой в центре.

Воронка не воронка, а достаточно глубокая яма должна же получиться? Что-то не помню, чтобы я видел соответствующую картинку для этого предела. С одной стороны, понятно, что тут все зависит от уравнения состояния вещества, и есть много разных решений. С другой, кажется, что все они должны быть примерно такими: с увеличением "критичности" ситуации яма углубляется не до бесконечности, а до тех пор, пока стенки параболоида на поверхности тела не станут вертикальными. А вот "воронка кривизны" должна в этом случае углубляться до бесконечности.

[Theoristos]

Утундрий в сообщении #1649615 писал(а):

Посадим в каждой точке поверхности по вектору из касательного пространства: $\mathbf A\equiv A^s {\mathbf y}_{, s}$ и тупо продифференцируем это животное...

Надо отметить, что в таком выводе есть набор неявных допущений. От того что вообще такое за животное "разные вектора, привязанные к разным точкам в пространстве", и до того, что в том куда-то, куда, как предполагается, наша поверхность вложена, вектора допустимо неким простым образом двигать из точки в точку.

[Утундрий]

Theoristos
Подход, конечно инженерный (сразу приводит к нужной формуле), но и, надеюсь, геометрически ясный. Жирные объекты это элементы объемлющего пространства, кое следует полагать аффинным.

[pppppppo_98]

epros в сообщении #1649648 писал(а):

Ничего подобного. Перенос по определению не может менять длину вектора.

Странно это слышать от человека который в соседней теме рассуждает о неметрических пространствах... Перенос он же аффинная связность это отдельная от метрики структура , котрая связывает два касательных пространствах в соседних близких точках. И правильно замечено что геодезическая это линия в каждой точке которой касательных вектор получается из соседней точки параллельным переносом. Но... Есть выделенная связность в классе всех возможных связномтей Леви-Чивиты, которая построена так, что бы длина всех переносимых векторов была постоянной во всех близких точках, и коэффициенты связности в выбранной системе координат прямо зависят от метрического тензора в этих же системах координат.