Целые значения иррационального выражения

[nnosipov]

Найдите все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых число

$$\frac{2x^2+y+\sqrt{2x^2+y}}{xy+1}$$

является целым.

Комментарий. Ответ такой: только $(x,y) \in \{(1,2),(2,1)\}$. Здесь хотелось бы получить доказательство покороче.

[Руст]

Обозначим $y=u^2-2x^2, u>\sqrt{2} x>0$.
Выражение $f(u,x)=\frac{u(u+1)}{x(u^2-2x^2)+1}=k$ целое.
Случай $x=1$ дает $k>1$ $(k-1)u^2-u-k=0$ решение $k=2,u=2,y=2$
Аналогично $x=2$ дает решение $k=4,u=3, y=1$
При $x=3$ выражение $\frac{u(u+1)}{3u^2-53}$ не целое,
при $x=4$ выражение $\frac{u(u+1)}{4u^2-127}$ не целое,
при $x=5$ выражение $\frac{u(u+1)}{5u^2-249}$ не целое.
При $x\ge 6$ число u ближайшее целое (сверху) от $\sqrt{2} x, s=u-\sqrt{2}x<1$.
Отсюда получим $y=1\to u^2=2x^2+1, k=\frac{u(u+1)}{x+1}$
Из уравнения $u^2=2x^2+1$ получается, что $(x+1,u)|3, \ (x+1,u+1)|2$, т.е. нет других решений.

[nnosipov]

Руст в сообщении #1649233 писал(а):

При $x\ge 6$ число u ближайшее целое (сверху) от $\sqrt{2} x, s=u-\sqrt{2}x<1$.

То есть, утверждается, что $u$ должно быть ближайшим целым сверху к числу $x\sqrt{2}$. А доказательство?

[Руст]

Подставив $u=\sqrt{2}x+s$ Получим числитель $2x^2+s^2+s+\sqrt{2}x(2s+1)$,
а знаменатель $2\sqrt{2}sx^2+s^2x+1$. Если $x\ge 6,s\ge 1$ знаменатель больше.

[nnosipov]

Хорошо, при больших $x$ действительно можно считать, что $0<s<1$. Но почему $y=u^2-2x^2=1$? Почему не $y=u^2-2x^2=2$, например? Вот, скажем, $x=9$, тогда ближайшее сверху целое число к $x\sqrt{2}$ --- это $u=13$ и мы имеем $u^2-2x^2=7$.

[Руст]

Я не говорил, что годится любое ближайшее целое.
$u=\sqrt{2x^2+y}=\sqrt{2}x\sqrt{1+\frac{y}{2x^2}}\to s<\frac{\sqrt{2}y}{4x}$
С другой стороны отношение $k=1$, т.е. $u(u+1)=xy+1, y=u^2-2x^2$
Из первого $y$ примерно 2х, точнее от $2x<y<2x+1, x>5$.

[nnosipov]

Руст в сообщении #1649286 писал(а):

отношение $k=1$

Очередная загадка. Не, ну на фиг читать такие тексты. "Любое ближайшее целое"

[Руст]

Решение сначала
Пусть $u=\sqrt{2x^2+y}$ натуральное число, тогда $y=u^2-2x^2>0$ и
$k=\frac{u(u+1)}{xy+1}$ натуральное число.
Рассмотрим малые значения x:
$x=1\to y=u^2-2\to k=\frac{u(u+1)}{u^2-1}=1+\frac{u+1}{u^2-1}=1+\frac{1}{u-1}\to u=2\to y=2.$
$x=2\to y=u^2-8\to k=\frac{u(u+1)}{2u^2-15}\to u\ge 3$ if $u> 4\to k<1$, only $u=3\to y=1$.
$x\ge 3\to k=\frac{u(u+1)}{x(u^2-2x^2)+1}$. Обозначим $s=u-\sqrt{2}x>0$.
Числитель равен $2x^2+\sqrt{2}x+2\sqrt{2}sx+s^2+s$.
Знаменатель $2\sqrt{2}x^2s+xs^2+1$ явно больше числителя при $x\ge 3, s\ge 1$.
Поэтому $u=[\sqrt{2}x+1], y=2\sqrt{2}xs+s^2=[2\sqrt{2}xs]+1$
С другой стороны $k(xy+1)=u(u+1)$ и $s=\sqrt{2}x(\sqrt{1+\frac{y}{2x^2}}-1)=\frac{y}{2\sqrt{2}x}-\frac{y^2}{16\sqrt{2}x^3}-...$
Отсюда следует, что при $x\ge 3$ уже у не может быть больше 1 и нет других решений. (вспомнил откуда брал y=1).

[nnosipov]

Руст в сообщении #1649343 писал(а):

Отсюда следует

По-прежнему не понимаю, откуда именно и как именно следует, что $y$ не может быть больше $1$.