2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Целые значения иррационального выражения
Сообщение06.08.2024, 05:43 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Найдите все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых число $$\frac{2x^2+y+\sqrt{2x^2+y}}{xy+1}$$ является целым.

Комментарий. Ответ такой: только $(x,y) \in \{(1,2),(2,1)\}$. Здесь хотелось бы получить доказательство покороче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые значения иррационального выражения
Сообщение10.08.2024, 18:54 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Обозначим $y=u^2-2x^2, u>\sqrt{2} x>0$.
Выражение $f(u,x)=\frac{u(u+1)}{x(u^2-2x^2)+1}=k$ целое.
Случай $x=1$ дает $k>1$ $(k-1)u^2-u-k=0$ решение $k=2,u=2,y=2$
Аналогично $x=2$ дает решение $k=4,u=3, y=1$
При $x=3$ выражение $\frac{u(u+1)}{3u^2-53}$ не целое,
при $x=4$ выражение $\frac{u(u+1)}{4u^2-127}$ не целое,
при $x=5$ выражение $\frac{u(u+1)}{5u^2-249}$ не целое.
При $x\ge 6$ число u ближайшее целое (сверху) от $\sqrt{2} x,  s=u-\sqrt{2}x<1$.
Отсюда получим $y=1\to u^2=2x^2+1, k=\frac{u(u+1)}{x+1}$
Из уравнения $u^2=2x^2+1$ получается, что $(x+1,u)|3, \ (x+1,u+1)|2$, т.е. нет других решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые значения иррационального выражения
Сообщение10.08.2024, 19:05 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Руст в сообщении #1649233 писал(а):
При $x\ge 6$ число u ближайшее целое (сверху) от $\sqrt{2} x,  s=u-\sqrt{2}x<1$.
То есть, утверждается, что $u$ должно быть ближайшим целым сверху к числу $x\sqrt{2}$. А доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые значения иррационального выражения
Сообщение10.08.2024, 19:34 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Подставив $u=\sqrt{2}x+s$ Получим числитель $2x^2+s^2+s+\sqrt{2}x(2s+1)$,
а знаменатель $2\sqrt{2}sx^2+s^2x+1$. Если $x\ge 6,s\ge 1$ знаменатель больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые значения иррационального выражения
Сообщение10.08.2024, 19:56 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Хорошо, при больших $x$ действительно можно считать, что $0<s<1$. Но почему $y=u^2-2x^2=1$? Почему не $y=u^2-2x^2=2$, например? Вот, скажем, $x=9$, тогда ближайшее сверху целое число к $x\sqrt{2}$ --- это $u=13$ и мы имеем $u^2-2x^2=7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые значения иррационального выражения
Сообщение10.08.2024, 21:37 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Я не говорил, что годится любое ближайшее целое.
$u=\sqrt{2x^2+y}=\sqrt{2}x\sqrt{1+\frac{y}{2x^2}}\to s<\frac{\sqrt{2}y}{4x}$
С другой стороны отношение $k=1$, т.е. $u(u+1)=xy+1,  y=u^2-2x^2$
Из первого $y$ примерно 2х, точнее от $2x<y<2x+1, x>5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые значения иррационального выражения
Сообщение10.08.2024, 22:06 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Руст в сообщении #1649286 писал(а):
отношение $k=1$
Очередная загадка. Не, ну на фиг читать такие тексты. "Любое ближайшее целое" :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые значения иррационального выражения
Сообщение11.08.2024, 01:04 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Решение сначала
Пусть $u=\sqrt{2x^2+y}$ натуральное число, тогда $y=u^2-2x^2>0$ и
$k=\frac{u(u+1)}{xy+1}$ натуральное число.
Рассмотрим малые значения x:
$x=1\to y=u^2-2\to k=\frac{u(u+1)}{u^2-1}=1+\frac{u+1}{u^2-1}=1+\frac{1}{u-1}\to u=2\to y=2.$
$x=2\to y=u^2-8\to k=\frac{u(u+1)}{2u^2-15}\to u\ge 3$ if $u> 4\to k<1$, only $u=3\to y=1$.
$x\ge 3\to k=\frac{u(u+1)}{x(u^2-2x^2)+1}$. Обозначим $s=u-\sqrt{2}x>0$.
Числитель равен $2x^2+\sqrt{2}x+2\sqrt{2}sx+s^2+s$.
Знаменатель $2\sqrt{2}x^2s+xs^2+1$ явно больше числителя при $x\ge 3, s\ge 1$.
Поэтому $u=[\sqrt{2}x+1], y=2\sqrt{2}xs+s^2=[2\sqrt{2}xs]+1$
С другой стороны $k(xy+1)=u(u+1)$ и $s=\sqrt{2}x(\sqrt{1+\frac{y}{2x^2}}-1)=\frac{y}{2\sqrt{2}x}-\frac{y^2}{16\sqrt{2}x^3}-...$
Отсюда следует, что при $x\ge 3$ уже у не может быть больше 1 и нет других решений. (вспомнил откуда брал y=1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые значения иррационального выражения
Сообщение11.08.2024, 09:10 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Руст в сообщении #1649343 писал(а):
Отсюда следует
По-прежнему не понимаю, откуда именно и как именно следует, что $y$ не может быть больше $1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group