а как проверить вашу формулу 4.10 и с чём её сравнивать я вообще без понятия.
Попробую проcто пояснить эту формулу.
Пусть имеется случайная величина
![$z=\sum_{i=1}^n{x_i}$ $z=\sum_{i=1}^n{x_i}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/3/903edd325724c3e2e3995868c45450b682.png)
, где
![$x_i$ $x_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/c/9fc20fb1d3825674c6a279cb0d5ca63682.png)
- независимые случайные величины.
Случайная величина
![$x_i$ $x_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/c/9fc20fb1d3825674c6a279cb0d5ca63682.png)
принимает значение 1 с вероятностью
![$p_i$ $p_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d19b0a4827a28ecffa01dfedf5f5f2c82.png)
, а значение 0 с вероятностью
![$1-p_i$ $1-p_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/e/a1e723638f1f6689aebaf0be4f6d24b982.png)
.
Поэтому среднее значение
![$x_i$ $x_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/c/9fc20fb1d3825674c6a279cb0d5ca63682.png)
равно:
![$E[x_i]=1 \cdot p_i+0 \cdot (1-p_i)=p_i$ $E[x_i]=1 \cdot p_i+0 \cdot (1-p_i)=p_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/c/0dcb3b218854ba503d3e50068313a06f82.png)
. (1)
Дисперсия
![$x_i$ $x_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/c/9fc20fb1d3825674c6a279cb0d5ca63682.png)
на основании (1) равна:
![$D[x_i]=E[x^2_i]-E^2[x_i]=1 \cdot p_i+0 \cdot (1-p_i)-p^2_i=p_i-p^2_i$ $D[x_i]=E[x^2_i]-E^2[x_i]=1 \cdot p_i+0 \cdot (1-p_i)-p^2_i=p_i-p^2_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/4/dc4f97b99b0658c08b28f5c96493213b82.png)
. (2)
Среднее значение для
![$z=\sum_{i=1}^n{x_i}$ $z=\sum_{i=1}^n{x_i}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/3/903edd325724c3e2e3995868c45450b682.png)
, где
![$x_i$ $x_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/c/9fc20fb1d3825674c6a279cb0d5ca63682.png)
- независимые случайные величины, на основании (1) равно:
![$E[z]=E[\sum_{i=1}^n{x_i}]=\sum_{i=1}^n {E[x_i]}=\sum_{i=1}^n {p_i}$ $E[z]=E[\sum_{i=1}^n{x_i}]=\sum_{i=1}^n {E[x_i]}=\sum_{i=1}^n {p_i}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/5/01527c45b53e9b899f4bffec894bece582.png)
. (3)
Дисперсия для
![$z=\sum_{i=1}^n{x_i}$ $z=\sum_{i=1}^n{x_i}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/3/903edd325724c3e2e3995868c45450b682.png)
, где
![$x_i$ $x_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/c/9fc20fb1d3825674c6a279cb0d5ca63682.png)
- независимые случайные величины, на основании (2) равна:
![$D[z]=D[\sum_{i=1}^n{x_i}]=\sum_{i=1}^n {D[x_i]}=\sum_{i=1}^n {p_i}-\sum_{i=1}^n {p^2_i}$ $D[z]=D[\sum_{i=1}^n{x_i}]=\sum_{i=1}^n {D[x_i]}=\sum_{i=1}^n {p_i}-\sum_{i=1}^n {p^2_i}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/3/fb380593b8d86954836522769739b7a682.png)
. (4)
Теперь предположим
![$p_i=C/\ln^k(i)$ $p_i=C/\ln^k(i)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/6/516bd08ccf8beb7a85027ef982749a3782.png)
- вероятность появления простого кортежа, где
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
-длина кортежа из простых чисел, а
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
- постоянная, зависящая от структуры кортежа.
Второе предположение, что
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
- кортежи из простых чисел появляются независимо друг от друга.
Оба предположения соответствуют гипотезе Харди-Литтлвуда о простых
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
- кортежах.
Тогда на основании (3) и указанных предположений для
![$n=x$ $n=x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/0/f10f1ddbbf262bd593cbc75bfc74e9f982.png)
получим среднее количество простых
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
-кортежей на интервале:
![$\sum_{i=2}^x {C/\ln^k(i)} \sim C \int_2^x{\frac{dt}{\ln^k(t)}}$ $\sum_{i=2}^x {C/\ln^k(i)} \sim C \int_2^x{\frac{dt}{\ln^k(t)}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/6/ea6ce9a89c961e72baaae4894135015682.png)
, (5)
что соответствует гипотезе Харди-Литтлвуда о простых
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
- кортежах.
На основании (4) и указанных предположений для
![$n=x$ $n=x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/0/f10f1ddbbf262bd593cbc75bfc74e9f982.png)
получим дисперсию количества простых
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
-кортежей на интервале::
![$\sum_{i=2}^x {C/\ln^k(i)}-\sum_{i=2}^x {C^2/\ln^{2k}(i)} \sim C\int_2^x{\frac{dt}{\ln^k(t)}}-C^2\int_2^x{\frac{dt}{\ln^{2k}(t)}}$ $\sum_{i=2}^x {C/\ln^k(i)}-\sum_{i=2}^x {C^2/\ln^{2k}(i)} \sim C\int_2^x{\frac{dt}{\ln^k(t)}}-C^2\int_2^x{\frac{dt}{\ln^{2k}(t)}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/a/dcaf3bbd3a065a499602e8db5eb6229382.png)
, (6)
что соответствует формуле (4.10), если учесть, что
![$\sigma[z]=\sqrt{D[z]}$ $\sigma[z]=\sqrt{D[z]}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/a/6ea580fbeaf5ee69c72e18c1f148ac7e82.png)
.