Доказательство теоремы Коши-Ковалевской путем сведения ее к гиперболической задаче содержится в третьем томе M. Taylor Partial Differential Equations
Это известное доказательство, я подозреваю, что его придумал кто-то из первых разработчиков гиперфункций. Идея простая: пусть, скажем, надо доказать для Лапласа:

. Уйдем в комплексную область предполагая аналитичность по

. Тогда будет выполняться также

. Задача Коши хорошо поставлена и если начальные данные удовлетворяют Коши-Риману, то доказывается что и решение будет удовлетворять. Надо заметить, что если начальные данные имеют сингулярность в какой-то точке

,

0, то эта сингулярность может выскочить на вещественную ось за время

, т.е. если сингулярность была близко к вещественной оси, то и время существования очень мало. Иными словами, даже если начальная функция от

была аналитической функцией от

на всей оси, но с малым радиусом сходимости

, то и время существования будет маленьким.
А вот если уравнение нестрого гиперболическое, скажем

, то сведем его к строго гиперболическому,

, и время выскакивания будет

, и т.к.

можно выбрать произвольно, то сингулярность не выскочит никогда.