Не могу понять одно из доказательств теоремы Котельникова

[Kevsh]

Сейчас читаю книгу "Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение" Бернарда Скляра. На странице 92 по сути начинается доказательство теоремы Котельникова (хотя, наверное, я всё же криво выражаюсь, но суть ясна). То есть автор показывает, что если частота дискретизации не превышает (и не равна) удвоенной максимальной частоты сигнала, то происходит эффект наложения. Всё, что происходит до выражения (2.5) включительно, я понимаю. Далее начинается нечто странное. Фурье-образом последовательности периодических единичных импульсов оказывается такая же последовательность, только в частотной области, что видно на рисунках 2.6(в, г). Но ведь последовательность таких импульсов является постоянным дискретизированным по времени сигналом со значением, равным единице, разве не так? А Фурье-образом постоянного сигнала является единичный импульс на нулевой частоте (что логично - это же постоянный сигнал). Я даже логики какой-то в преобразовании из книги не вижу - откуда в постоянном сигнале какие-то гармоники (кроме постоянной составляющей)?
Хорошо, видимо я что-то тут не понял. Иду далее и вижу в выражении (2.8) равенство

$$X_s(f)=\frac{1}{T_s}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}X(f-nf_s)$$

а далее пишут, что из такого равенства видно, что спектры аналогового сигнала и дискретизированного сигнала сходятся (исключая постоянный множитель $\frac{1}{T_s}$). Более того, по нему видно, что спектр дискретизированного сигнала повторяется.
Во-первых я не понимаю вообще смысла выражения $X_s(f)=\frac{1}{T_s}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}X(f-nf_s)$. Подставим какую-то $f$, ну, допустим, $50Hz$. Возьмём частоту дискретизации, например, $f_s=500Hz$. Сумма в правой части выражения "пробегается" по всем частотам и складывает их, а потом делит на период дискретизации. И так будет на любой частоте. И в чём смысл? И где тут рассмотреть повторяющийся спектр я тоже не пойму.

[B@R5uk]

Kevsh в сообщении #1648021 писал(а):

я не понимаю вообще смысла выражения

Смысл — продемонстрировать периодичность спектра: под суммой стоит исходный спектр, сдвинутый туда-сюда на целое число значений частоты дискретизации $f_s$. Поскольку спектр исходного сигнала укладывается в диапазон с концами в половину частоты дискретизации, то повторяющиеся спектры не перекрываются и не налезают друг на друга. В противном случае будет алиасинг.

В чём вопрос то?

Сигнал $x_\delta(t)$ должен был быть помножен на временную константу (удобнее всего $T_s$), а то у него размерность не единичная, а обратная времени, из-за чего множитель $1/T_s$ в формуле с суммой для дискретного сигнала вылезает.

[Kevsh]

B@R5uk
Словосочетание "сдвинутый туда-сюда" мне помогло, теперь я понял смысл выражения, к нему больше вопросов нет. В принципе, как и к преобразованию. Да, это действительно по сути постоянный сигнал и импульсы в его спектре только на нулевых частотах (на нулевой и копиях). Не понимаю, почему я не дошёл до этого сам . Спасибо!

[Alex Krylov]

Преобразование Фурье вот этого $\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)$ дает вот это $\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\exp(-j 2\pi n T_s f)$. Последняя сумма есть (формальный) ряд Фурье вот для этого $\frac{1}{T_s} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-\frac{n}{T_s})$. Если вы об этом...

[epros]

Kevsh, теорема Котельникова - это очень простая штука, нужно только уметь применять $\delta$-функцию. Составляете из них решётку Дирака. Подстановкой её в формулу преобразования Фурье убеждаетесь, что образом тоже является решётка Дирака. Вспоминаете, что Фурье-образ произведения функций является свёрткой Фурье-образов этих функций. Поскольку дискретизированный по времени сигнал - это произведение решётки Дирака на исходный сигнал, Фурье-образ дискретизированного по времени сигнала является свёрткой Фурье-образа исходного сигнала с решёткой Дирака. Если спектр (Фурье-образ) исходного сигнала ограничен по частоте, то свёртка его с рёшеткой Дирака с достаточно редким шагом приведёт к повторению спектра через частоты, соответствующие шагу решётки Дирака. Значит восстановить спектр исходного сигнала из спектра дискретизированного по времени сигнала можно просто удалив гармоники с частотой выше, чем половина шага решётки Дирака. Значит при достаточно коротком шаге дискретизации по времени такой исходный сигнал легко восстанавливается из дискретизированного с помощью фильтра, подавляющего высокие частоты.

[epros]

epros в сообщении #1648154 писал(а):

Составляете из них решётку Дирака

Пардон, это правильнее называть расчёской Дирака.