Коэффициенты и интегралы

[kthxbye]

Пусть $a(n,p,q)$ - семейство целочисленных последовательностей, такое, что экспоненциальные производящие функции для последовательностей семейства имеют форму

$$ A_1(x)=\exp\left(x + p\int\int (A_1(x))^q \, dx \, dx\right). $$

Пусть $b(n,p,q)$ - семейство целочисленных последовательностей, такое, что экспоненциальные производящие функции для последовательностей семейства имеют форму

$$ A_2(x)=(1 + \int A_2(x) \, dx)(1 + p\int (A_2(x))^q \, dx). $$

Пусть

$$ T_1(n,k,p,q) = (q(k-1)+1)T_1(n-1,k,p,q) + p(n-2k+3)T_1(n-1,k-1,p,q) $$

Здесь $T_1(n,1,p,q) = [n > 0]$, $T_1(n,0,p,q) = T_1(0,k,p,q) = 0$.

Пусть также

$$ T_2(n,k,p,q) = (q(k-1)+1)T_2(n-1,k,p,q) + p(n+(q-2)(k-2)-1)T_2(n-1,k-1,p,q) $$

Здесь $T_2(n,1,p,q) = [n > 0]$, $T_2(n,0,p,q) = T_2(0,k,p,q) = 0$.

В ходе экспериментов было установлено, что (скорее всего) будем иметь

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}T_1(n,k) = a(n) $$

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}T_2(n,k) = b(n-1). $$

Если гипотезы верны, существует ли способ их как-то доказать?