Центр масс точек на окружности

[denny]

Для любой точки $P$ внутри окружности можно указать такие точки $C_1, C_2$ на окружности, что $P$ будет их центром масс



Сразу вопрос — а что с эллипсом? Как провести хорду через $Q$ так, чтобы $Q$ делила ее пополам?


Вернемся к окружности, и попробуем найти три точки так, чтобы данная точка $P$ внутри нее была их центром масс.

Можно сделать, например, так. Для любой точки $D$ на дуге $\overset{\LARGE\frown}{C_{1} C_{2}}$ существует точка $P_1$ такая, что она лежит внутри окружности,
и $P$ делит отрезок $D P_1$ пополам.



Теперь для $P_1$ находим точки $C_3, C_4$ для которых $P_1$ — центр масс,
и тогда $P$ будет центром масс для $D, C_3, C_4$.

Таким образом, существует бесконечное множество треугольников, вписанных в окружность,
для которых данная точка внутри окружности является центроидом. Все ли корректно в этом элементарном доказательстве?

Наконец, любопытно понять ситуацию для $N > 3$ точек. Получается, по рекурсии можно доказать, что всегда существуют такие $N$ точек на окружности, для которых данная точка внутри нее будет центром масс. Верно ли это?
А можно ли без рекурсии, сразу для всех $N$? Может быть, через вектора?

[dgwuqtj]

В случае с тремя точками надо всё-таки $P_1 = \frac {3 P - D} 2$, а не $P_1 = 2 P - D$. Можно написать формулы сразу для всех $N$, если разрешить совпадающие точки. При чётном $N$ просто взять $\frac N 2$ раз конструкцию для пары точек, а при нечётном — сначала взять $D$, скажем, ближайшую к $P$, и свести задачу к $P_1 = \frac{N P - D}{N - 1}$.

denny в сообщении #1647816 писал(а):

Сразу вопрос — а что с эллипсом?

Делаем аффинное преобразование и сводим задачу к окружности.

[Null]

denny в сообщении #1647816 писал(а):

и тогда $P$ будет центром масс для $D, C_3, C_4$.

Нет. Их центр масс(если массы по 1) не середина $DP_1$
Доказать существование требуемых $N$ точек просто, но построить их геометрически, так чтобы они не совпадали сложнее.

[denny]

dgwuqtj в сообщении #1647817 писал(а):

В случае с тремя точками надо всё-таки $P_1 = \frac {3 P - D} 2$, а не $P_1 = 2 P - D$. Можно написать формулы сразу для всех $N$, если разрешить совпадающие точки. При чётном $N$ просто взять $\frac N 2$ раз конструкцию для пары точек, а при нечётном — сначала взять $D$, скажем, ближайшую к $P$, и свести задачу к $P_1 = \frac{N P - D}{N - 1}$.

Ага, спасибо, затупил! Но главное, что в целом задачка любопытная, попробую напишу формулы

Null в сообщении #1647818 писал(а):

denny в сообщении #1647816 писал(а):

и тогда $P$ будет центром масс для $D, C_3, C_4$.

Нет. Их центр масс(если массы по 1) не середина $DP_1$
Доказать существование требуемых $N$ точек просто, но построить их геометрически, так чтобы они не совпадали сложнее.

Да, ошибку понял, попробую найти четкий алгоритм.

Ну тогда уж совсем обобщить можно попробовать. Если есть параметрическая выпуклая гладкая кривая и точка внутри нее, можно ли найти $N$ значений параметра на ней, чтобы данная точка внутри была центром масс точек, соответствующих этим параметрам?

[denny]

Исправленная версия для трех точек. Оказалась не такой простой, также возможны ошибки!
Но Geogebra вроде верифицирует точку $P$ как центроид.

При радиусе окружности $R$ строим вспомогательную окружность с центром в $C= 3 P/2$ на луче $OP$
и радиусом $R/2$. Точка $D$ свободно перемещается по окружности, а точка $P_1 =\frac { 3P-D}{2}$

Далее два случая:
1. Построенная малая окружность целиком лежит внутри основной.
Тогда при произвольном положении $D$ на окружности точка $P_1$ будет лежать внутри нее,
и если построить $C_3, C_4$ на окружности так, что $P1 = (C_3+C_4)/2$, точка $P$ будет центроидом $D,C_3, C_4$



2. Малая окружность пересекает основную в точках $C_1, C_2$.
При этом линии $C_1 P$ и $C_2 P$ пересекают основную окружность в $E_1, E_2$.
Тогда искомое построение будет верным, если $D$ лежит на дуге $E_1 C_2 C_1 E_2$.



-- 30.07.2024, 23:09 --

Для четного числа требуемых точек $N= 2 m$ есть такая идея.
Внутри окружности строим $m$ точек так, что $P$ будет их центром масс.
Самое красивое - правильный $m$-угольник.
Для каждой вершины строим пару "проекций" на окружность так, что вершина - их центр масс.
Тогда $P$ будет ц.м. этих проекций.

Далее два вопроса, с учетом того, что $m$-угольник может меняться как минимум
по двум параметрам - размеру стороны и углу поворота.

1. Детский вопрос. Доказать, что существует такой $m$-угольник, что $2m$ полученных проекций
все будут различны.

2. Взрослый вопрос. Найти такую конфигурацию, чтобы $2m$ точек на окружности были максимально рассеяны
(максимум минимального углового расстояния) и при этом $P$ была их ц.м.

Если на эти вопросы сложно ответить для многоугольника, можно попробовать другие конфигурации
точек, для которых $P$ ц.м., например лежащие на одной линии.
Для меня это все сложновато, но интересно )

[denny]

Наконец, если использовать только алгебраический подход,
то можно найти полное решение. И возможно оно же и является максимином в плане углового расстояния между точками.

На Geogebra видно, что для любого $N>1$ можно подобрать такой угол $\varphi$,
что заданная точка $P$ будет центром масс $N$ точек, равно-распределенных по дуге.



Для алгебраического доказательства нужно рассмотреть сумму

$$\sum\limits_{k=0}^{N-1}\cos(\varphi/2+k \varphi / (N-1))$$

Используя комплексное суммирование, получим, что она равна

$$\frac {\cos(\varphi) \sin(N \varphi / (2 (N-1)))}{\sin(\varphi / (2 (N-1)))}$$

Из графика по $\varphi$ видно, что при любых $N>1$ это выражение принимает все значения между $0$ и $1$.
Доказать затрудняюсь, но уверен, что это возможно.

[dgwuqtj]

denny в сообщении #1648010 писал(а):

Доказать затрудняюсь, но уверен, что это возможно.

Есть теорема о промежуточном значении (математический анализ, первый курс), как раз для таких случаев. Можно же явно найти такие $\varphi$, когда сумма равна 0 и 1.

[Null]

denny в сообщении #1648010 писал(а):

$$\sum\limits_{k=0}^{N-1}\cos(\varphi/2+k \varphi / (N-1))$$

$\frac{1}{N}$ забыли. У нас же среднее.

[denny]

Null в сообщении #1648016 писал(а):

denny в сообщении #1648010 писал(а):

$$\sum\limits_{k=0}^{N-1}\cos(\varphi/2+k \varphi / (N-1))$$

$\frac{1}{N}$ забыли. У нас же среднее.

Да, отредактировать не дает (

-- 01.08.2024, 12:45 --

dgwuqtj в сообщении #1648013 писал(а):

denny в сообщении #1648010 писал(а):

Доказать затрудняюсь, но уверен, что это возможно.

Есть теорема о промежуточном значении (математический анализ, первый курс), как раз для таких случаев. Можно же явно найти такие $\varphi$, когда сумма равна 0 и 1.

Да, примерно это я имел в виду. Для конкретных $N$ и координаты цм в виде рационального числа Mathematica легко находит решение в виде арктангенсов от радикалов 12-й степени

Поэтому геометрическое решение для 3-х точек также имеет ценность, тем более что там видны все решения.

[denny]

Что-то увлекся этой задачкой. Можно зайти и с третьей стороны!
Если $\vec{p_i}, 1 \le i \le N$ - вершины правильного $N$-угольника, то центр окружности будет их центром масс

$$\sum_{i=1}^{N}\vec{p_i}=0$$

Сдвинем центр окружности на вектор $\vec {r}, \left\| \vec {r} \right\| < 1$

Нам нужно найти преобразование, переводящее $p_i$ в $p'_i$ такие, что

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {1}{N} \sum_{i=1}^{N}{\vec{p'_i}}=\vec {r} \\ \forall i \left\| \vec {p'_i} \right\| =\left\| \vec {p_i} \right\|=1\\ \end{array} \right. $$

Думаю, что можно найти красивое и простое решение!