the eikonal equation

[drzewo]

Это стандартный вопрос, просто мне интересно посмотреть, как эти вещи выводятся в лоб, из общих фактов об уравнении уравнения Гамильтона-Якоби они выводятся мгновенно.



Дело происходит на римановом многообразии $M$ с локальными координатами $x=(x^1,\ldots,x^m)$ и метрикой $g_{ij}(x)$.

Пусть $x(t),\quad x(0)=\hat x$ -- геодезическая, и $t$ -- натуральный параметр.


Пусть функция $f(x)$ является решением уравнения

$$|\nabla f|^2=g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^i}\frac{\partial f}{\partial x^j}=1$$

Доказать, что если геодезическая $x(t)$ начинается на поверхности уровня

$$\Psi_{\hat x}=\{x\in M\mid f(x)=f(\hat x)\},\quad \hat x\in\Psi_{\hat x}$$

и перпендикулярна ей то

1) она перпендикулярна каждой поверхности уровня $\Psi_{x(t)}$, которую пересекает;

2) $f(x(t))-f(\hat x)=t.$

[Утундрий]

Я бы взял $f$ в качестве новой координаты и посмотрел, что получится.

[drzewo]

$f=x^1,\quad g^{11}=1.\quad \dot x(0)=(g^{11},\dots,g^{1m})^T$ что-то не выходит