Построить гомоморфизм

[Alexiii]

Дана любая коммутативная полугруппа М с единицей.
Как построить для нее такой гомоморфизм из $M$ в группу $K$ $\psi:M\rightarrow K$
(то есть по сути спрашивается найти группу $K$),чтобы выполнилось условие:
!) для любого гомоморфизма $\varphi:M\rightarrow L$ ($L$,конечно,группа) cуществовал
такой единственный гомоморфизм $f:K\rightarrow L$,чтобы композиция $f\psi:M\rightarrow L$ подчинялась равенству $f\psi=\varphi$.

Добавлено спустя 1 час 39 минут 26 секунд:

Если не ошибаюсь,то требуется построить группу $K$ $Grotendieck$-а,но отлично от приведенного в учебниках.
Может быть,у вас есть идеи?!

[Alexiii]

может,это поможет:
к примеру,для целых чисел с умножением (полугруппа с единицей) группой $Grothendieck$-а является множество рациональных чисел

[lofar]

Пусть $F(M)$ --- свободная группа порожденная $M$ как множеством. Пусть $N$ --- нормальное замыкание в $F(M)$ множества $\{(a\circ b)b^{-1}a^{-1}\colon\a,b\in M\}$ (здесь $ --- операция на $M$). Положим $K=F(M)/N$, каноническое отображение $\varphi\colon M\to K$, $\varphi\colon a\mapsto aN$ будет искомым гомоморфизмом.