Задачка из Пятницкого и Co. (МФТИ)

[drzewo]

Вот задача



а вот решение:



В связи с этим возникает несколько риторических вопросов.

0) $\mu\equiv 0$ подойдет? Видимо, авторов задачи всетаки интересует случай, когда исходное уравнение эквивалентно уравнению Лагранжа.

1) С какой стати уравнение в частных производных на $\mu$ (самая последняя формула) доложно иметь решение?
Я, например, не вижу других способов это доказать, кроме тяжелой артиллерии: теорема Коши-Ковалевской. Тогда надо еще аналитичность $F$ предполагать и приводить систему к нормальному виду. Результат при этом будет локальным и с дополнительными условиями на $F$.

2) Но если нам все равно применять теорему Коши-Ковалевской, то зачем $\mu$? Не проще ли расписать уравнение Лагранжа:

$$F L_{\dot q\dot q}+L_{t\dot q}+\dot qL_{\dot q q}-L_{q}=0 \qquad(*)$$

И найти отюда $L$, в предположении, что $F\ne 0$.

3) Cистема $\ddot q=F(t,q,\dot q)$ может иметь, вообще говоря, асимптотически устойчивое положение равновесия, а в гамильтоновой системе это невозможно. Интересно, предполагали ли авторы исследование вопроса о существовании $\mu$ в окрестности положения равновесия исходной системы.

[amon]

drzewo в сообщении #1646918 писал(а):

Вот задача

Что-то мне подсказывает, что для силы $F=-\gamma\frac{\dot q}{|\dot q|}$ мне функцию Лагранжа не написать. Но может я один такой?

[drzewo]

системы с разрывной правой частью давайте оставим в стороне:)

-- 20.07.2024, 18:42 --

функцию Лагранжа интересно написать для силы $F=-x-\dot x$

[amon]

drzewo в сообщении #1646949 писал(а):

функцию Лагранжа интересно написать для силы $F=-x-\dot x$

Это я знаю. А для квадратичного трения. Отставить. Там тоже разрыв.

[drzewo]

я думаю, что локально лагранжиан существует для любой аналитической $F,\quad \mu=1$

-- 20.07.2024, 21:00 --

в пункте 3) я чепуху написал

[amon]

drzewo в сообщении #1646949 писал(а):

функцию Лагранжа интересно написать для силы $F=-x-\dot x$

То, что сразу в голову приходит:

$$L=\frac{e^{\tau-t}}{2}(\dot{ q}^2(\tau)-q^2(\tau)).$$

Есть еще какой-то способ, но я его сходу не вспоминаю.