Обратный образ окрестности единицы в топологической группе

[YuryS]

Пусть $X$ - топологическая группа,
и пусть $G$ есть открытая окрестность единицы $e$ группы.
Тогда, если $\mu$ является групповой операцией (умножением) в $X$, множество $\mu^{-1}(G)$ является открытым в $X \times X$, и $(e,e) \in \mu^{-1}(G)$.
Далее мой вопрос - утверждается, что из предыдущего факта следует, что существуют $A \subseteq X$ и $B \subseteq X$, такие что $A \times B$ является открытым в $X \times X$, $(e,e) \in A \times B$ и $AB = G$.
Меня интересует, более подробно, из чего следует существование таких $A$ и $B$ ?
Ведь множество $\mu^{-1}(G)$ есть ОБЪЕДИНЕНИЕ произведений элементов базы топологии на X ? Или же такое существование выводится здесь без привлечения понятия базы ?
И сопутствующий технический вопрос - что можно сказать об открытости множества $G \times \left\lbrace e \right\rbrace$ в $X \times X$, если $G$ является открытым в $X$ ?

[dgwuqtj]

YuryS в сообщении #1646812 писал(а):

существуют $A \subseteq X$ и $B \subseteq X$, такие что $A \times B$ является открытым в $X \times X$, $(e,e) \in A \times B$ и $AB = G$.

Не следует и неверно уже в случае $X = \mathbb R$, если в качестве $X$ взять набор непересекающихся интервалов, один из которых содержит 0 и длины которых стремятся к 0.

-- 19.07.2024, 14:13 --

YuryS в сообщении #1646812 писал(а):

что можно сказать об открытости множества $G \times \left\lbrace e \right\rbrace$ в $X \times X$, если $G$ является открытым в $X$ ?

В отделимом случае ничего, оно открыто только если $X$ дискретно.

[YuryS]

dgwuqtj в сообщении #1646818 писал(а):

в случае $X = \mathbb R$, если в качестве $X$ взять набор непересекающихся интервалов,

Не понял, что такое у вас $X$ - это один интервал $\mathbb{R} = ( -\infty, +\infty)$ или же "набор непересекающихся интервалов ..." ? В любом случае, что вы понимаете под групповой операцией на $X$ и единицей в нем ?

[dgwuqtj]

$X$ - это вся группа $\mathbb R$ (относительно сложения, с нейтральным элементом 0). В ней есть открытое подмножество $G$, которое содержит 0 и является объединением непересекающихся интервалов, скажем, $G = (-1, 1) \cup (2, 2.5) \cup (2.9, 2.95) \cup (2.99, 2.995) \cup \ldots$. Вот такое $G$ не является суммой по Минковскому открытых подмножеств $\mathbb R$.

Хотя я это не умею доказывать, может, оно и представимо в виде суммы.

[YuryS]

dgwuqtj в сообщении #1646827 писал(а):

такое $G$ не является суммой по Минковскому открытых подмножеств $\mathbb R$

1) Во-первых, по условию задачи требуется найти не пару ОТКРЫТЫХ подмножеств A, B, таких что $A + B = G$ (по Минковскому), а такие A, B , что $A \times B$ является ОТКРЫТЫМ в $X \times X$.
2) Во-вторых, упростим ваш пример - пусть $G = ( -1, 1 )$ и только.
Тогда обратный образ $G$ относительно сложения есть внутренность полосы на декартовой плоскости, ограниченной прямыми $x + y = 1$ и $x + y = -1$. Спрашивается - можно ли найти множества A,B, такие что $A \times B$ есть подмножество точек этой полосы и $A + B = G$ (по Минковскому)?
Возможно, ответ на последний вопрос даст полезную информацию для дальнейшего ...

[mihaild]

YuryS в сообщении #1646855 писал(а):

Во-первых, по условию задачи требуется найти не пару ОТКРЫТЫХ подмножеств A, B, таких что $A + B = G$ (по Минковскому)

Требуется же.

YuryS в сообщении #1646812 писал(а):

$AB = G$

(у Вас группа мультипликативная, у dgwuqtj аддитивная)

YuryS в сообщении #1646855 писал(а):

Спрашивается - можно ли найти множества A,B, такие что $A \times B$ есть подмножество точек этой полосы и $A + B = G$ (по Минковскому)?

Прямоугольник с углами на ограничивающих прямых.

-- 19.07.2024, 18:12 --

dgwuqtj в сообщении #1646818 писал(а):

если в качестве $X$ взять набор непересекающихся интервалов

Тут, видимо, опечатка, имелось в виду $G$.

[YuryS]

mihaild в сообщении #1646859 писал(а):

Требуется же.

В исходной постановке задачи, требуется доказать существование двух множеств A,B (необязательно открытых), для которых выполнено два условия -
1) $A + B = G$ и
2) $A \times B $ является открытым.

mihaild в сообщении #1646859 писал(а):

(у Вас группа мультипликативная, у dgwuqtj аддитивная)

В исходной постановке задачи говорится про топологическую группу с некоторой групповой (бинарной) операцией.
dgwuqtj предложил рассмотреть в качестве контрпримера конкретный пример группы , а именно, $( \mathbb{R}, + )$.

mihaild в сообщении #1646859 писал(а):

Прямоугольник с углами на ограничивающих прямых.

Вы имеете ввиду прямоугольник с вершинами (-1,0),(0,1),(1,0),(0,-1) или какой-то другой ?
В любом случае, как представить множество внутренних точек этого прямоугольника как $A \times B$ ?

mihaild в сообщении #1646859 писал(а):

Тут, видимо, опечатка, имелось в виду $G$.

Да, dgwuqtj это уже уточнил.

[mihaild]

YuryS в сообщении #1646900 писал(а):

$A \times B $ является открытым

Мне пора перечитать учебники, или из этого следует, что $A$ и $B$ открыты (если оба непусты)? Для каких-то открытых $A_\alpha, B_\alpha$, $A \times B = \cup_\alpha A_\alpha \times B_\alpha$, откуда $A = \cup_\alpha A_\alpha$.

YuryS в сообщении #1646900 писал(а):

Вы имеете ввиду прямоугольник с вершинами (-1,0),(0,1),(1,0),(0,-1) или какой-то другой ?

Пардон, два угла на прямых (а прямоугольник - квадрат), я зря поленился на бумаге рисовать. $(-1, 0) \times (0, 1)$.