Требуется же.
В исходной постановке задачи, требуется доказать существование двух множеств A,B (необязательно открытых), для которых выполнено два условия -
1)
![$A + B = G$ $A + B = G$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/b/cbb5a960fceb0edc4e8f6938ad6ad6e782.png)
и
2)
![$A \times B $ $A \times B $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/6/da65421c09f9b18bee2ef84ca4329ea482.png)
является открытым.
(у Вас группа мультипликативная, у dgwuqtj аддитивная)
В исходной постановке задачи говорится про топологическую группу с некоторой групповой (бинарной) операцией.
dgwuqtj предложил рассмотреть в качестве контрпримера конкретный пример группы , а именно,
![$( \mathbb{R}, + )$ $( \mathbb{R}, + )$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/9/9d9bfa0f8a1d5343b6533aa2dbf7bba582.png)
.
Прямоугольник с углами на ограничивающих прямых.
Вы имеете ввиду прямоугольник с вершинами (-1,0),(0,1),(1,0),(0,-1) или какой-то другой ?
В любом случае, как представить множество внутренних точек этого прямоугольника как
![$A \times B$ $A \times B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/6/206048d77fed9ce184551395c869adce82.png)
?
Тут, видимо, опечатка, имелось в виду
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
.
Да, dgwuqtj это уже уточнил.