2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по алгебре
Сообщение18.07.2024, 17:47 


30/08/23
56
Добрый день, уважаемые участники форума! Буду благодарен всем, кто даст подсказку к следующей алгебраической задаче:

Доказать, что кольцо $k[x,y]/(y^2- x^3 + x)$ не является целозамкнутым.

Я попытался подобрать многочлен со старшим коэффициентом 1, корнем которого являлось бы $y/x$, но к успеху это не привело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по алгебре
Сообщение18.07.2024, 19:40 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
Там точно нет опечатки? Это алгебра функций на гладкой кривой, так что она целозамкнута.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по алгебре
Сообщение18.07.2024, 19:51 


30/08/23
56
dgwuqtj в сообщении #1646685 писал(а):
Там точно нет опечатки? Это алгебра функций на гладкой кривой, так что она целозамкнута.


Может и есть опечатка, я не уверен. А где можно прочитать про этот факт о гладкой кривой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по алгебре
Сообщение18.07.2024, 20:14 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
Я не знаю человеческой ссылки, но это есть в Stacks project. Там geometrically normal и означает, что кольцо целозамкнуто (над алгебраически замкнутым основным полем).

А вообще должно быть где-то в Хартсхорне, скажем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по алгебре
Сообщение18.07.2024, 22:58 


30/08/23
56
dgwuqtj в сообщении #1646693 писал(а):
Я не знаю человеческой ссылки, но это есть в Stacks project. Там geometrically normal и означает, что кольцо целозамкнуто (над алгебраически замкнутым основным полем).

А вообще должно быть где-то в Хартсхорне, скажем.


Я нашёл эту теорему в книжке Шафаревича, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по алгебре
Сообщение19.07.2024, 09:57 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
Для кривых над алгебраически замкнутым полем обратное тоже верно, то есть гладкость равносильна нормальности. А вот для поверхностей уже нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по алгебре
Сообщение19.07.2024, 23:37 


30/08/23
56
dgwuqtj в сообщении #1646770 писал(а):
Для кривых над алгебраически замкнутым полем обратное тоже верно, то есть гладкость равносильна нормальности. А вот для поверхностей уже нет.

Вот как раз обратное утверждение можно в лоб доказать. А с доказательством в прямую сторону (т.е. с док-м того, что из гладкости следует нормальность) пока не разобрался. Очень надеюсь, что для алгебраических кривых можно придумать рассуждение, не требующее знаний алгебраической геометрии.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group