Задача по алгебре

[Bober2]

Добрый день, уважаемые участники форума! Буду благодарен всем, кто даст подсказку к следующей алгебраической задаче:

Доказать, что кольцо $k[x,y]/(y^2- x^3 + x)$ не является целозамкнутым.

Я попытался подобрать многочлен со старшим коэффициентом 1, корнем которого являлось бы $y/x$, но к успеху это не привело.

[dgwuqtj]

Там точно нет опечатки? Это алгебра функций на гладкой кривой, так что она целозамкнута.

[Bober2]

dgwuqtj в сообщении #1646685 писал(а):

Там точно нет опечатки? Это алгебра функций на гладкой кривой, так что она целозамкнута.

Может и есть опечатка, я не уверен. А где можно прочитать про этот факт о гладкой кривой?

[dgwuqtj]

Я не знаю человеческой ссылки, но это есть в Stacks project. Там geometrically normal и означает, что кольцо целозамкнуто (над алгебраически замкнутым основным полем).

А вообще должно быть где-то в Хартсхорне, скажем.

[Bober2]

dgwuqtj в сообщении #1646693 писал(а):

Я не знаю человеческой ссылки, но это есть в Stacks project. Там geometrically normal и означает, что кольцо целозамкнуто (над алгебраически замкнутым основным полем).

А вообще должно быть где-то в Хартсхорне, скажем.

Я нашёл эту теорему в книжке Шафаревича, спасибо!

[dgwuqtj]

Для кривых над алгебраически замкнутым полем обратное тоже верно, то есть гладкость равносильна нормальности. А вот для поверхностей уже нет.

[Bober2]

dgwuqtj в сообщении #1646770 писал(а):

Для кривых над алгебраически замкнутым полем обратное тоже верно, то есть гладкость равносильна нормальности. А вот для поверхностей уже нет.

Вот как раз обратное утверждение можно в лоб доказать. А с доказательством в прямую сторону (т.е. с док-м того, что из гладкости следует нормальность) пока не разобрался. Очень надеюсь, что для алгебраических кривых можно придумать рассуждение, не требующее знаний алгебраической геометрии.