Доказать что компоненты 4-вектора - трехмерный скаляр/вектор

[Cos(x-pi/2)]

Может быть, ещё вот такая "идея" поможет справиться с этой довольно-таки странной задачей.

Для ясности будем называть словом "буст" преобразование Лоренца, которое описывает переход из одной инерциальной системы отсчёта в другую без поворота координатных осей $1,2,3.$ Направление и величина скорости движения одной системы относительно другой задаётся трёхмерным вектором $\vec{v},$ это параметр, которым определяется 4х4-матрица буста $L(\vec{v}).$ Компоненты 4-вектора в новой системе отсчёта есть $A'_{\mu }=L_{\mu \nu} A_{\nu}.$ Через $L_{\mu\nu}$ обозначены элементы матрицы $L(\vec{v}),$ по дважды повторяющемуся индексу подразумевается суммирование: $\nu = 0,1,2,3.$

Так вот, в некоторых учебниках написано, что результатом выполнения подряд нескольких бустов в разных направлениях может оказаться система отсчёта, неподвижная относительно исходной, и притом у неё будут повёрнутые оси $1',2',3'.$ (Именно по этой причине обычные повороты входят в состав "группы Лоренца". Они составляют в ней подгруппу, так как комбинации поворотов всегда оказываются поворотами (включая и тождественное преобразование). А одни только бусты группу не составляют: комбинация бустов может быть вообще не бустом, а поворотом). Другими словами, произведение матриц $L=L(\vec{v}_1)L(\vec{v}_2)L(\vec{v}_3)...$ может оказаться равным 4х4 матрице $R,$ у которой $R_{00}=1,$ $R_{i 0}=R_{0k}=0$ для всех значений $i,k=1,2,3,$ а остальные элементы образуют матрицу поворота $R_{ik}=\alpha_{ik}$ трёхмерного вектора.

Требуемое в задаче доказательство сводится к следующему рассуждению. Будем шаг за шагом выполнять некоторые преобразования Лоренца - бусты в различных направлениях, такие, что итогом окажется поворот: $L=R.$ Тогда в итоге получится $A'_{0}=A_0$ и $A'_{i}=\alpha_{ik}A_{k}.$

(Простым примером подходящей последовательности бустов может служить $L=L(-\vec{v}_2)L(-\vec{v}_1)L(\vec{v}_2)L(\vec{v}_1),$ где вектор $\vec{v}_1$ направлен вдоль оси $1,$ вектор $\vec{v}_2$ направлен вдоль оси $2,$ и величины скоростей $v_1$ и $v_2$ считаются бесконечно малыми первого порядка. Элементы матрицы $L$ надо разложить до величин второго порядка малости включительно; в таком приближении получается желаемое равенство $L=R.$ Это будет матрица бесконечно малого поворота вокруг оси 3.)

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1646318 писал(а):

Показать, что компоненты $A_1,A_2,A_3$, четырехмерного вектора $A_i = (A_0,A_1,A_2,A_3)$ при пространственных поворотах преобразуются как компоненты трехмерного вектора $\vec{A} = (A_1,A_2,A_3)$, а компонента $A_0$ является трехмерным скаляром.

Преобразование Лоренца сохраняет $A_0A^0-A_kA^k$. Пространственный поворот сохраняет $A_kA^k.$ Что может произойти с $A_0A^0$ чтобы результирующее преобразование было преобразованием Лоренца?

[Enceladoglu]

amon
Ничего..?

-- 18.07.2024, 22:18 --

Преобразование Лоренца должно сохранять вид интервала.
$A_0 A^0 - A_k A^k = A'_0 A'^0 - A'_k A'^k$
Рассмотрим 4-вектор $(A^0,A^1,A^2,A^3)$. Рассмотрим преобразование, которое состоит из $ A'^k = \alpha_{ik} A^i$, а вектор $A^0$ не меняет. Тогда получается величина $(A'^0,A'^1,A'^2,A'^3)$ тоже 4-вектор. Так.. и.. и что?)

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1646728 писал(а):

Ничего..?

Именно так.

Enceladoglu в сообщении #1646728 писал(а):

Тогда получается величина $(A'^0,A'^1,A'^2,A'^3)$ тоже 4-вектор. Так.. и.. и что?)

Ровно то, что такое преобразование тоже является преобразованием Лоренца наряду с бустами, про которые обычно говорят. Есть такая книжка: А.Н. Васильев. Классическая электродинамика. Там неплохо и без тяжелой математики написано, в том числе, про это. Электродинамики при этом знать не надо, СТО выделена в отдельный раздел.

[Cos(x-pi/2)]

Маленькое замечание: если пользоваться верхними и нижними индексами, то минус не надо писать; при преобразованиях Лоренца 4-вектора $A$ инвариантна величина $A_{\mu}A^{\mu},$ в ней все четыре слагаемых суммируются с плюсом, $A_{\mu}A^{\mu}=A_0A^0+A_kA^k,$ а минус учитывается тем, что $A_k=-A^k,$ (где $k=1,2,3).$

[amon]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1646732 писал(а):

Маленькое замечание

Принимается. Это я второпях.

[Cos(x-pi/2)]

Enceladoglu, обратите всё-таки внимание на то, что можно одними лишь чистыми бустами получить чистый поворот. В задаче Вам дано, что компоненты 4-вектора $A$ преобразуются бустами. Вы преобразуете компоненты $A$ несколькими бустами и обнаруживаете, что в итоге эти компоненты преобразовались чистым поворотом. Вот это и есть доказательство требуемого факта: из закона преобразования 4-вектора бустами получился закон преобразования трёхмерной части этого вектора при повороте, а компонента $A_0$ при этом в итоге не изменилась.

[Enceladoglu]

Cos(x-pi/2)
Кажется я понял Вашу мысль, для понимания она весьма полезная. Теперь я хотя бы знаю кто такие бусты, и что преобразованиями Лоренца можно получить повороты. Насчет идеи доказательства, то это задача из Батыгина/Топтыгина, так что я думаю что Ваше доказательство немного сложновато для этой задачи (а может и нет)
amon
Судя по тому что я открыл в этом учебнике случайную страницу, и наткнулся на доказательство утверждения, которого нигде в учебниках линала я не видел, и которое очень часто использовалось в учебниках по физике как само-собой разумеющееся, да так что мне пришлось самому его доказать, то эту книжку действительно стоит подчитать (там это утверждение называется "лемма о свертке неизвестного с известным")

Я правда еще не понял одного, наверное очевидного факта: обе идеи предполагают, что если у меня совокупность элементов, составленных из $ A'^k = \alpha_{ik} A^i$ и $A^0$ компонент 4-вектора так же составляют 4-вектор, то это отвечает на вопрос задачи (что пространственные компоненты 4-вектора это трехмерный вектор, а временная это трехмерный скаляр). Этот переход я пока не понял (возможно потому что слегка сонный)
А еще как это все дело обобщить на доказательство аналогичного утверждение для тензора 2-го ранга, но над этим я еще сам завтра постараюсь подумать

[Cos(x-pi/2)]

Enceladoglu в сообщении #1646740 писал(а):

это задача из Батыгина/Топтыгина

Какой номер у этой задачи? (Мне сразу подумалось, что задача из этого задачника, но по-быстрому полистал эту книгу и не заметил такую задачу.)

Более явное рассуждение привёл уважаемый amon. Всё зависит от того, какое Вам дано определение понятиям "преобразование Лоренца" и "4-вектор". Пусть преобразованием Лоренца у нас называется любое линейное преобразование четырёх величин $A_0, A_1,A_2,A_3,$ оставлющее инвариантной величину $(A_0)^2-\vec{A}\cdot\vec{A}.$ Добавим сюда ещё требование непрерывной зависимости коэффициентов преобразования от параметров, так что непрерывным изменением параметров наше преобразование Лоренца может быть сведено к тождественному преобразованию (оно описывается единичной 4х4-матрицей); тем самым пока исключаем из рассмотрения всевозможные дискретные операции: отражения $\vec{A}$ в разных плоскостях, инверсию $\vec{A}\to -\vec{A}$ и замену $A_0\to -A_0.$

Тогда очевидным частным случаем преобразований Лоренца являются и такие преобразования, которые не изменяют каждую из величин $(A_0)^2$ и $\vec{A}\cdot\vec{A}=(A_1)^2+(A_2)^2+(A_3)^2.$ В этом частном случае преобразование Лоренца называется поворотом в трёхмерном пространстве. Далее свойства поворотов можно выяснять уже исходя из условия $\vec{A}'\cdot\vec{A}'=\vec{A}\cdot\vec{A}.$ При таком подходе то, что требуется доказать в задаче, уже прямо содержится в указанных определениях преобразований Лоренца и поворотов. Это самый явный и простой вариант.

А наиболее "продвинутый" подход -- рассмотреть бесконечно малые (инфинитезимальные) преобразования, ввести в дело понятие генераторов преобразований, рассмотреть коммутационные соотношения для генераторов, и затем строить их представления на пространствах различного "ранга" - векторное, тензорные, затем ещё и спинорное и спин-тензорные представления.

[drzewo]

Enceladoglu в сообщении #1646318 писал(а):

Показать, что компоненты $A_1,A_2,A_3$, четырехмерного вектора $A_i = (A_0,A_1,A_2,A_3)$ при пространственных поворотах преобразуются как компоненты трехмерного вектора $\vec{A} = (A_1,A_2,A_3)$, а компонента $A_0$ является трехмерным скаляром.

Правильно ли я понимаю, что речь идет о четырехмерной матрице $A=\mathrm{diag}\,(1,B)$, где
$B$-- ортогональная матрица $3\times 3$

-- 19.07.2024, 12:42 --

(Оффтоп)

чувствую себя Ржевским, который пришел и все опошлил

[amon]

drzewo в сообщении #1646786 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что речь идет о четырехмерной матрице $A=\mathrm{diag}\,(1,B)$, где $B$-- ортогональная матрица $3\times 3$

Правильно.

(Оффтоп)

А поручики тут все. Изредка прапорщики попадаются.

[Enceladoglu]

drzewo
Ну по идее да. Но тогда.. тогда доказательство вообще очевидное ? И для тензора 2-го ранга, и для вектора. Просто умножить 4-вектор на эту матрицу, увидеть как преобразуются компоненты и.. и все. Для тензора дважды придется умножать

-- 19.07.2024, 22:42 --

Пусть $P_{ik} $ - вышеуказанная матрица четырехмерного чисто пространственного.
$A'^i = P_{ik} A^k = P_{i0} A^0 + P_{i \alpha }, A^\alpha = ... $
$i = 1,2,3 $, тогда $P_{i \alpha } = B_{i \alpha}$, $\alpha = 1,2,3$, $ P_{i0} = 0 $ тут $B_{i \alpha}$ это ортогональная матрица 3 на 3
$ ... = B_{i \alpha } A^\alpha$ - что соответствует тому, что компоненты из $(A^1,A^2,A^3)$ это трехмерный вектор
$i = 0 $, тогда $ P_{00} = 1, P_{0 \alpha} = 0 $
$A'^0 = A^0$ - т.е. это скаляр.

-- 19.07.2024, 22:50 --

Cos(x-pi/2)
589, ну, если Вы смотрите старые издания.

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1646885 писал(а):

Но тогда.. тогда доказательство вообще очевидное ?

Все-таки надо продемонстрировать, что эта матрица - представление группы Лоренца. Это мы уже проделали, поэтому для тензоров путь открыт к успеху.

[Enceladoglu]

amon

Цитата:

Это мы уже проделали

А я правильно понимаю, что определение преобразования Лоренца как просто формулки, и как те, которые оставляют неизменными длинну 4-вектора (а как я скажу что такое 4-вектор без преобразований Лоренца ) эквивалентны ? Хотя это уже наверное вопрос который темы только касается, а не лежит в ней..

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1646892 писал(а):

А я правильно понимаю, что определение преобразования Лоренца как просто формулки, и как те, которые оставляют неизменными длинну 4-вектора (а как я скажу что такое 4-вектор без преобразований Лоренца ) эквивалентны ? Хотя это уже наверное вопрос который темы только касается, а не лежит в ней..

А Вы Васильева почитайте - там у него, на мой взгляд (может быть, предвзятый - он меня учил) все хорошо разжевано, с нетривиальными деталями.