Задача на оценку случайной величины (неравенство Чебышева?)

[Vavilen]

Привет! Поделитесь пожалуйста идеями по такой задачке: $Y_1, Y_2, .., Y_n$ - последовательность случайных велиичн, удовлетворяющих свойствам:
$E[Y_i] = 0, \, E[Y^2_i] < \infty, \, E[Y_i\left\lvert Y_1,...,Y_{i-1}] = Y_{i-1}$
Докажите что
$P[\max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}Y_i > x] \leqslant \frac{E[Y^2_n]}{E[Y^2_n] + x}, \, \forall x > 0$

Пробовал расписать вероятность максимума как единица минус произведение событий, что все $Y_i < x$, далее оценить их по неравенству Чебышева:
$P[Y_i < x] > 1 - \frac{E[Y_i^2]}{x^2}$,
перемножить их (хотя я не уверен, что это можно.. про независимость ведь ничего не сказано, но есть какое-то условие на мат ожидания), получил оценку:
$P[\max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}Y_i > x] \leqslant 1 - (1 - \frac{E[Y^2_n]}{x^2})^n$,
но такую оценку привести к нужной как-то не получается. Какие есть варианты? Может я не в том направлении думаю?

[ozheredov]

Vavilen в сообщении #1646694 писал(а):

про независимость ведь ничего не сказано

RLY?

Vavilen в сообщении #1646694 писал(а):

$E[Y_i\lvert Y_1,...,Y_{i-1}] = Y_{i-1}$

[Vavilen]

ozheredov в сообщении #1646723 писал(а):

RLY?

Vavilen в сообщении #1646694 писал(а):

$E[Y_i\lvert Y_1,...,Y_{i-1}] = Y_{i-1}$

это условие эквивалентно независимости? я честно говоря не до конца понимаю

[Null]

Vavilen в сообщении #1646768 писал(а):

это условие эквивалентно независимости?

Это зависимость.

[мат-ламер]

Vavilen в сообщении #1646768 писал(а):

это условие эквивалентно независимости? я честно говоря не до конца понимаю

Это мартингал. Посмотрите параграф VII.3 из второго тома учебника Ширяева "Вероятность". Там куча интересных неравенств для мартингалов. Может и для себя чего-нибудь найдёте.