2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача на оценку случайной величины (неравенство Чебышева?)
Сообщение18.07.2024, 20:20 
Привет! Поделитесь пожалуйста идеями по такой задачке: $Y_1, Y_2, .., Y_n$ - последовательность случайных велиичн, удовлетворяющих свойствам:
$E[Y_i] = 0, \, E[Y^2_i] < \infty, \, E[Y_i\left\lvert Y_1,...,Y_{i-1}] = Y_{i-1}$
Докажите что
$P[\max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}Y_i > x] \leqslant \frac{E[Y^2_n]}{E[Y^2_n] + x}, \, \forall x > 0$

Пробовал расписать вероятность максимума как единица минус произведение событий, что все $Y_i < x$, далее оценить их по неравенству Чебышева:
$P[Y_i < x] > 1 - \frac{E[Y_i^2]}{x^2}$,
перемножить их (хотя я не уверен, что это можно.. про независимость ведь ничего не сказано, но есть какое-то условие на мат ожидания), получил оценку:
$P[\max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}Y_i > x] \leqslant 1 - (1 - \frac{E[Y^2_n]}{x^2})^n$,
но такую оценку привести к нужной как-то не получается. Какие есть варианты? Может я не в том направлении думаю?

 
 
 
 Re: Задача на оценку случайной величины (неравенство Чебышева?)
Сообщение18.07.2024, 21:46 
Vavilen в сообщении #1646694 писал(а):
про независимость ведь ничего не сказано

RLY?
Vavilen в сообщении #1646694 писал(а):

$E[Y_i\lvert Y_1,...,Y_{i-1}] = Y_{i-1}$

 
 
 
 Re: Задача на оценку случайной величины (неравенство Чебышева?)
Сообщение19.07.2024, 09:10 
ozheredov в сообщении #1646723 писал(а):
RLY?
Vavilen в сообщении #1646694 писал(а):

$E[Y_i\lvert Y_1,...,Y_{i-1}] = Y_{i-1}$

это условие эквивалентно независимости? я честно говоря не до конца понимаю

 
 
 
 Re: Задача на оценку случайной величины (неравенство Чебышева?)
Сообщение19.07.2024, 11:16 
Vavilen в сообщении #1646768 писал(а):
это условие эквивалентно независимости?
Это зависимость.

 
 
 
 Re: Задача на оценку случайной величины (неравенство Чебышева?)
Сообщение19.07.2024, 11:43 
Аватара пользователя
Vavilen в сообщении #1646768 писал(а):
это условие эквивалентно независимости? я честно говоря не до конца понимаю

Это мартингал. Посмотрите параграф VII.3 из второго тома учебника Ширяева "Вероятность". Там куча интересных неравенств для мартингалов. Может и для себя чего-нибудь найдёте.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group