Демидович, 3550. Геометрические приложения производной

[Verbery]

Всем привет! Пожалуйста, помогите разобраться с задачей 3550 из Демидовича:
В какой точке эллипсоида:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$

нормаль к нему образует равные углы с осями координат?

Я делаю так. Составляю систему из трех уравнений:
1) $\frac{x_0}{a^2} = \frac{y_0}{b^2} = \frac{z_0}{c^2}$ следует из "равные углы с осями координат" (т.е. производные по каждой переменной равны)
2) $\frac{a^2}{x_0} (x - x_0) = \frac{b^2}{y_0} (y - y_0) = \frac{c^2}{z_0}(z - z_0)$ - это уравнение нормальной прямой
3) $\frac{x_0}{a^2} (x' - x_0) + \frac{y_0}{b^2} (y' - y_0) + \frac{z_0}{c^2}(z' - z_0)=0$ - это уравнение нормальной плоскости

Из 1) и 2) следует $x - x_0 = y - y_0 = z - z_0$, используя это в 3) можно получить из 3): $\frac{3 a^2}{x_0} (x - x_0) = 0$ и отсюда получаем точку: $M(0,0,0)$.

Судя по ответам в конце задачника, ответ неверный. Оно и понятно, ведь нормаль, наверное, должна лежать на поверхности, а тут точка внутри эллипсоида.

Подскажите где ошибка? Как тут нужно правильно рассуждать?

[Gagarin1968]

Verbery
Эта задача уже разбиралась на форуме 12,5 лет назад. Вот она

[Verbery]

Gagarin1968 в сообщении #1646374 писал(а):

Verbery
Эта задача уже разбиралась на форуме 12,5 лет назад. Вот она

Благодарю

[мат-ламер]

Verbery в сообщении #1646372 писал(а):

1) $\frac{x_0}{a^2} = \frac{y_0}{b^2} = \frac{z_0}{c^2}$ следует из "равные углы с осями координат" (т.е. производные по каждой переменной равны)

Начало было правильным (про дальнейшее промолчу). Теперь, приняв значение каждой дроби за $t$ , находим выражения для $x_0, y_0,z_0$ через $t$ и подставляем в уравнение эллипсоида, находим $t$ ... .

[Verbery]

мат-ламер в сообщении #1646381 писал(а):

Начало было правильным (про дальнейшее промолчу). Теперь, приняв значение каждой дроби за $t$ , находим выражения для $x_0, y_0,z_0$ через $t$ и подставляем в уравнение эллипса, находим $t$ ... .

Основываясь на ссылке выше я составил систему из условия 1) из моего сообщения, уравнения эллипсоида (точка принадлежит эллипсоиду) и этого хватило, чтобы получить верный ответ