Нормаль к эллипсоиду.

[never-sleep]

В какой точке эллипсиода нормаль к нему образует равные углы с осями координат?

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

Можно записать вектор нормали к эллипсоиду.

$\Big(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2}, \frac{2z}{c^2}\Big)$

Но как найти эту точку?

Судя по всему, должно выполняться равенство

$\frac{2x}{a^2}=\frac{2y}{b^2}= \frac{2z}{c^2}$

$x=\dfrac{a^2}{2}$

$y=\dfrac{b^2}{2}$

$z=\dfrac{c^2}{2}$

Но не совпадает с ответами.

В ответе

$x=\pm \dfrac{a^2}{d}$

$y=\pm \dfrac{b^2}{d}$

$z=\pm \dfrac{c^2}{d}$

;

[bot]

never-sleep в сообщении #542091 писал(а):

Судя по всему, должно выполняться равенство

Должно, а с какой радости все эти дроби Вы приравняли к единице, а не к тысяче, к примеру? А вот условие принадлежности точки эллипсу осталось неиспользованным.

[never-sleep]

bot в сообщении #542096 писал(а):

never-sleep в сообщении #542091 писал(а):

Судя по всему, должно выполняться равенство

Должно, а с какой радости все эти дроби Вы приравняли к единице, а не к тысяче, к примеру? А вот условие принадлежности точки эллипсу осталось неиспользованным.

Спасибо, точно, я написал ерунду...

$\vec n=\Big(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2}, \frac{2z}{c^2}\Big)$


Рассмотрим единичные векторы вдоль осей координат:

$\vec n_1=(0,0,1)$

$\vec n_2=(0,1,0)$

$\vec n_3=(1,0,0)$

Насколько я понимаю, нам нужно, чтобы углы между ними и вектором $\vec n$ были равны.

Тогда косинусы этих углов должны быть равны.

То есть.

$$\dfrac{\frac{2a}{x^2}}{\sqrt{\dfrac{4x^2}{a^4}+\dfrac{4y^2}{b^4}+\dfrac{4z^2}{c^4}}}=\dfrac{\frac{2b}{y^2}}{\sqrt{\dfrac{4x^2}{a^4}+\dfrac{4y^2}{b^4}+\dfrac{4z^2}{c^4}}}=\dfrac{\frac{2c}{z^2}}{\sqrt{\dfrac{4x^2}{a^4}+\dfrac{4y^2}{b^4}+\dfrac{4z^2}{c^4}}}$$

Правильно? А как дальше?

(Оффтоп)

Вот что имелось ввиду под "дэ" $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

[INGELRII]

А потом умножаете это тройное равенство на страшный-страшный корень в знаменателе, и получается то же самое, что вы уже написали: $\frac{2 x}{a^2}=\frac{2 y}{b^2}=\frac{2 z}{c^2}$. (У вас там, кстати, путаница в числителях.)

Затем мы вспоминаем наконец, что точка должна таки принадлежать эллипсоиду. А что значит, что точка принадлежит эллипсоиду? Значит, ее координаты удовлетворяют какому-то там уравнению. И вот у нас уже есть система уравнений: $\frac{2 x}{a^2}=\frac{2 y}{b^2}, \frac{2 x}{a^2}=\frac{2 z}{c^2}$, и еще какое-то уравнение. Итого три уравнения, три неизвестных. Ну, такую систему уже и решить не стыдно.

[bot]

bot в сообщении #542096 писал(а):

... все эти дроби Вы приравняли к единице, ...

И не попала точка на эллипсоид. Углы какие надо, а не там. А если вместо единицы к двойке приравнять, углы ведь те же самые останутся, а точка как передвинется? А ежели не единицу взять и не двойку взять, а ровно столько, чтобы в аккурат на поверхность попасть, сколько ж это будет?

[never-sleep]

Спасибо большое, понятно, получилось все.