Задача на потенциал Лиенара-Вихерта

[reterty]

Пусть точечный заряд $q$ движется прямолинейно с переменной релятивистскоой скоростью $v(t)=dr/dt$ относительно неподвижного наблюдателя, находящегося на линии движения на расстоянии $r(t)$ справа от заряда.
Задача: определить мгновенное значение потенциала заряда в точке, расположенной на линии движения на таком же расстоянии $r(t)$ справа от наблюдателя, если известна зависимость $v(r)$.
Решение. Потенциал Лиенара-Вихерта в данном случае определится как

$$\varphi=\dfrac{q}{R(t^\prime)-\frac{v(t^\prime) R(t^\prime)}{c}},$$

где $R=2r$ и запаздывающий момент времени

$$ t^\prime=t -\dfrac{R}{c}.$$

Имеем:

$$ \dfrac{1}{v(t^\prime)}=\dfrac{d t^\prime}{dr}=\dfrac{dt-\frac{2dr}{c}}{dr}=\dfrac{1}{v(r)}-\dfrac{2}{c}.$$

Кроме того

$$R( t^\prime)=2r-\dfrac{2}{c} \int v(r) dr$$

Тогда

$$\varphi=\dfrac{q}{\left(2r-\frac{2}{c} \int v(r) dr \right) \left( 1-\frac{v(r)}{c-2v(r)}\right)}.$$

Прошу проверить выкладки.

[lazarius]

Что-то не так с вашей формулой связывающей $v(t^\prime)$ и $v(r)$.

Как я понимаю, первое - скорость заряда в source event, второе тоже скорость заряда но в projected position, то есть в момент наблюдения.

Очевидно, какой бы результат вы не получили для движения с переменной скоростью, он должен включать случай движения с постоянной. Ваша формула этому случаю прямо противоречит.

Рассмотрите сценарий с зарядом приближающимся слева к наблюдателю с постоянной скоростью $c/2$. Если field event по условию справа от наблюдателя на расстоянии $r$, то source event от него слева на расстоянии $3r$. За исключением слова "переменной" этот сценарий ничему не противоречит в вашем условии.