Синус 10 градусов

[amon]

B@R5uk в сообщении #1646055 писал(а):

первые таблицы синусов были у индийских математиков ещё в 5-6 веке

У греков в III веке до нашей эры, а может и раньше. Называлась "таблица хорд".

[vpb]

Евгений Машеров в сообщении #1646045 писал(а):

Насколько я понял смысл задачи, он не в вычислении синуса, а в сравнении его значения с радианной мерой угла. И значение синуса на этот момент достаточно взять из таблицы или из калькулятора.

Нет, когда надо обратиться к таблицам или калькулятору, так и пишут, "найдите то-то и то-то по таблице (или используя калькулятор)". А просто "найдите с точностью такой-то" означает "приближенно найдите собственными руками". Например, найдите приближенное значение $\sqrt3$ с точностью до двух цифр после запятой. Это во-первых. Во-вторых, если бы подразумевалось обращение к таблицам или калькулятору, почему ограничились двумя цифрами ? Древние Таблицы Брадиса (которые Вы, несоменно, еще застали) дают 4 цифры, калькулятор, даже старый -- цифр 6. Тоже с двумя цифрами не согласуется... Не подразумевалось же упражнение в округлении, правда ?

Кстати, предложение посчитать, на сколько процентов найденное значение синуса отличается от значения угла в радианной мере --- тоже странное. Дело в том, что значение $\sin 10^\circ$ есть $0,17364$, этот же угол в радианной мере $0,17453$. Получается, что отличие точного значения синуса от угла --- примерно $0,5\%$, а при округлении до двух цифр после запятой вносится ошибка $2\%$ --- так какой смысл спрашивать про отличие, в процентах, вычисленного значения синуса от угла, если само это вычисленное значение отличается истинного на $2\%$ ? Это не дает картины того, какая ошибка вносится, когда значение синуса, пр малых углах, заменяется значением угла.

[zykov]

B@R5uk в сообщении #1646055 писал(а):

$$|_\smile BB'|<|AB|$$

Это надо ещё доказать.

Школьными методами, без Тэйлора, можно используя формулу тройного угла $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ получить кубическое уравнение для $\sin 10$.
А корень полинома можно уже любыми методами оценивать с любой точностью. Хоть просто делением пополам.

[zykov]

Корень полинома $8q^3-6q+1=0$, который чуть меньше $\frac{\pi}{18}$.

[Null]

zykov в сообщении #1646064 писал(а):

Это надо ещё доказать.

Можно посчитать площади сектора и треугольника.

[B@R5uk]

zykov в сообщении #1646064 писал(а):

Это надо ещё доказать.

По-моему, это из картинки очевидно. Особенно, если нарисовать угол при вершине O не 10-20 градусов, а все 60. Не зря рекомендуется к геометрическим задачам делать большие красивые иллюстрации.

Я, конечно, понимаю, что доказательство, что тангенс больше своего радианного угла, без производных — задача не совсем очевидная, но как раз тут для больших углов это видно из картинки, а для малых — из соображений здравого смысла (читай: монотонности). Это всё не является строгим доказательством, но я не знаю, что в книге ТС уже дано, может (раз синусы введены), то и это утверждение имеет строгое обоснование. А может задача ещё и на развитие математической чуйки (кроме очевидного умения давать оценки).

[zykov]

B@R5uk в сообщении #1646068 писал(а):

По-моему, это из картинки очевидно

Как раз, не очевидно.
Это довольно легко доказать через интегрирование по углу (рассуждать про длинну кривых без интеграла вообще проблематично). Для дуги там единица интегрируется, для катета - значение больше единицы интегрируется.
(Вообще, "из картинки очевидно" только что длинна кривой больше длинны прямого отрезка соединяющего концы этой кривой. То что длинна кривой меньше какой-то прямой - уже не очевидно.)

[B@R5uk]

zykov, то есть вам не очевидно, что длина окружности, вписанной в правильный многоугольник, меньше его периметра? Даже если нет, то можно воспользоваться этим фактом как широкоизвестным из геометрии (я курс не помню, но, думаю, там доказывается). В задаче даже угол красивый, из рассматриваемого треугольника дупликацией собирается правильный 18-угольник.

[dgwuqtj]

На школьном уровне неравенства вида $\sin \alpha < \alpha < \tg \alpha$ можно было бы доказывать через монотонность длин выпуклых кривых (если даны компактные выпуклые множества $X \subseteq Y \subset \mathbb R^2$, то периметр $X$ не больше периметра $Y$ и неравенство строгое, если включение строгое). Только даже определить длину дуги без мат. анализа не особо получится. Для ломаных это утверждение доказывается очень просто.

[B@R5uk]

zykov, даже, если вам всё-таки про периметры не нравится, можно так.

Проведём из точки B' перпендикуляр к прямой OA. Он пересечёт отрезок AB в некоторой точке C. Более точно, отрезок OC будет биссектрисой рассматриваемого угла, но это не важно. Что важно, сумма длин отрезков B'C и CB будет меньше длины отрезка AB, потому что треугольник AB'C — прямоугольный, и гипотенуза AC длиннее катета B'C. Дальше, я напрочь отказываюсь допускать такую идею, что дуга B'B длиннее суммы длин отрезков B'C и CB. Даже из картинки (оче)видно, что эти длины максимум равны. Всё! Цепочка из (нестрогого и строгого) неравенств построена.

[мат-ламер]

B@R5uk в сообщении #1646068 писал(а):

Я, конечно, понимаю, что доказательство, что тангенс больше своего радианного угла, без производных — задача не совсем очевидная,

Но, тем не менее, решаемая. Во многих как школьных, так и вузовских учебниках доказывается неравенство $\sin x < x < \tg x$ для $0 < x < \pi /2$ исходя из сугубо геометрических соображений. А уж затем при вычислении производных от тригонометрических функций используется это неравенство.

[Mihr]

dgwuqtj в сообщении #1646078 писал(а):

На школьном уровне неравенства вида $\sin \alpha < \alpha < \tg \alpha$ можно было бы доказывать через монотонность длин выпуклых кривых

У вас есть пример кривых, сравнивая длины которых, школьник смог бы получить указанные неравенства? Для меня это как-то сомнительно.
Вот через площади (не через длины кривых!) эти неравенства доказываются в самом деле легко.

[B@R5uk]

мат-ламер в сообщении #1646082 писал(а):

из сугубо геометрических соображений.

Ну, дык вроде прямо предыдущим сообщением я, вроде, именно это и осилил. Я даже в основу положил то, что глаз должен самостоятельно замечать, когда мы говорим "очевидно".

-- 12.07.2024, 09:42 --

Mihr в сообщении #1646083 писал(а):

Вот через площади...

Площади — штука довольно обманчивая (площадь — а что это за штука такая?). В школе многие тождества, для круга в особенности, применяются на веру, потому что их вывод (читай: доказательство) требует предельного перехода. И не факт, что в процессе этого перехода не потребуется как раз то, что мы сейчас пытаемся доказать. Так что, не кошерно. Но, может, для школы как раз пойдёт. С оговоркой.

[Mihr]

B@R5uk в сообщении #1646084 писал(а):

Площади — штука довольно обманчивая (площадь — а что это за штука такая?).

Для иллюстрации указанных неравенств школьнику вполне достаточно представления о том, что если фигура $F_1$ с площадью $S_1$ является правильной частью фигуры $F_2$ с площадью $S_2$, при этом $F_2$ имеет внутренние точки, не принадлежащие $F_1$, то $S_1<S_2$.
Говорить со школьником о мере Жордана и свойствах меры я не предлагаю.

[dgwuqtj]

Mihr в сообщении #1646083 писал(а):

У вас есть пример кривых, сравнивая длины которых, школьник смог бы получить указанные неравенства?

Конечно, возьмём сегмент круга, его основание (хорду), а также треугольник, образованных хордой и касательными в её концах. Это даст неравенства $\sin \alpha < \alpha < 2 \tg \frac \alpha 2$ при $0 < \alpha < \pi$. Если периметр отрезка считать не хочется, то возьмём выпуклые оболочки этих фигур и центра окружности.