Коммутатор координаты и импульса равен
![$[XP]=ih$ $[XP]=ih$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/5/fd595b564ec0eee91850afb1e40f588b82.png)
(Большими буквами обозначены операторы).
Найдем матричный элемент коммутатора между собственными функциями оператора X:
![$\left\langle x|[XP]|x'\right\rangle=\left\langle x|(XP-PX)|x'\right\rangle=(x-x')\left\langle x|P|x'\right\rangle=ih\left\langle x|x'\right\rangle$ $\left\langle x|[XP]|x'\right\rangle=\left\langle x|(XP-PX)|x'\right\rangle=(x-x')\left\langle x|P|x'\right\rangle=ih\left\langle x|x'\right\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/1/ba15ed18c0c7208bd93432760f9671ee82.png)
При
![$x\ne x'$ $x\ne x'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/7/e3702a130b81e46be4176340aa9b2c9f82.png)
если разные координатные функции ортогональны (правая часть равна нулю), то все матричные элементы дипольного момента между разными координатными функциями также нулевые. Другими словами либо разные координатные функции неортогональны, либо координата и импульс имеют одинаковые собственные функции. Что из этого верно?
При
![$x=x'$ $x=x'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/d/3cdc88f962ac8778fc0b498e79afe5c982.png)
получаем, что правая часть равна нулю. Это не должно быть верным. Поэтому интересно рассмотреть случай бесконечно близких координат.
Пусть
![$x'=x-dx$ $x'=x-dx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/f/31fc44c28770dcb31ffffb3e21e3be5582.png)
, тогда матричный элемент коммутатора будет
![$\left\langle x|[XP]|x-dx\right\rangle=dx\left\langle x|P|x-dx\right\rangle=ih\left\langle x|x-dx\right\rangle$ $\left\langle x|[XP]|x-dx\right\rangle=dx\left\langle x|P|x-dx\right\rangle=ih\left\langle x|x-dx\right\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/0/b10d9471c7353dba86757a0f233a9b5f82.png)
Подставим функцию
![$|(x-dx)>$ $|(x-dx)>$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/5/93573e5d57d27200754e0d1d91e2897f82.png)
в виде
![$|(x-dx)> =|x>-dx\dfrac{\partial}{\partial x}|x>$ $|(x-dx)> =|x>-dx\dfrac{\partial}{\partial x}|x>$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/e/05e6715e9b92468206cdea7f7b09046482.png)
![$dx\left\langle x|P|x\right\rangle-dx^2\left\langle x|P\frac{\partial}{\partial x}|x\right\rangle=ih\left\langle x|x\right\rangle-ihdx\left\langle x|\frac{\partial}{\partial x}|x\right\rangle$ $dx\left\langle x|P|x\right\rangle-dx^2\left\langle x|P\frac{\partial}{\partial x}|x\right\rangle=ih\left\langle x|x\right\rangle-ihdx\left\langle x|\frac{\partial}{\partial x}|x\right\rangle$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/8/418b8ee78fc0a1306233bd926a95036082.png)
Член с
![$dx^2$ $dx^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/e/d0e12bf3a10d5d07b6f61d30b38c32ad82.png)
вроде бы как бесконечно малая высокого порядка исчезает. Если вспомнить определение оператора импульса
![$P=-ih\frac{\partial}{\partial x}$ $P=-ih\frac{\partial}{\partial x}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/4/ba4a613be7098b599c2ca54530a984ef82.png)
получаем
![$\left\langle x|x\right\rangle=0$ $\left\langle x|x\right\rangle=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/2/60253a0fd7d39aa19c4c1a36b62da37382.png)
.
Похоже не следовало отбрасывать член высокого порядка. Тогда
![$\left\langle x|x\right\rangle=-\frac{1}{h^2}\left\langle x|P^2|x\right\rangle dx^2$ $\left\langle x|x\right\rangle=-\frac{1}{h^2}\left\langle x|P^2|x\right\rangle dx^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/4/3348192e2f4c8ebb12d23fc190d37f3982.png)
.
Получается, что если матричный элемент оператора импульса между разными координатными функциями равен 0, то для матричного элемента оператора импульса выполняется равенство
![$\left\langle x|P|x\right\rangle dx=ih$ $\left\langle x|P|x\right\rangle dx=ih$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/3/8139f3000d21c85de973a5d89770be6d82.png)
.
Вспомнив опять определение оператора импульса получаем
![$\left\langle x|\frac{\partial}{\partial x}|x\right\rangle dx=-1$ $\left\langle x|\frac{\partial}{\partial x}|x\right\rangle dx=-1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/1/82155ef8f1474599502ad630c25bae1c82.png)
.
Может кто нибудь подтвердить, что все изложенное верно?