Коммутатор координаты и импульса

[OlegML]

Коммутатор координаты и импульса равен $[XP]=ih$ (Большими буквами обозначены операторы).
Найдем матричный элемент коммутатора между собственными функциями оператора X:
$\left\langle x|[XP]|x'\right\rangle=\left\langle x|(XP-PX)|x'\right\rangle=(x-x')\left\langle x|P|x'\right\rangle=ih\left\langle x|x'\right\rangle$
При $x\ne x'$ если разные координатные функции ортогональны (правая часть равна нулю), то все матричные элементы дипольного момента между разными координатными функциями также нулевые. Другими словами либо разные координатные функции неортогональны, либо координата и импульс имеют одинаковые собственные функции. Что из этого верно?
При $x=x'$ получаем, что правая часть равна нулю. Это не должно быть верным. Поэтому интересно рассмотреть случай бесконечно близких координат.
Пусть $x'=x-dx$, тогда матричный элемент коммутатора будет
$\left\langle x|[XP]|x-dx\right\rangle=dx\left\langle x|P|x-dx\right\rangle=ih\left\langle x|x-dx\right\rangle$
Подставим функцию $|(x-dx)>$ в виде $|(x-dx)> =|x>-dx\dfrac{\partial}{\partial x}|x>$
$dx\left\langle x|P|x\right\rangle-dx^2\left\langle x|P\frac{\partial}{\partial x}|x\right\rangle=ih\left\langle x|x\right\rangle-ihdx\left\langle x|\frac{\partial}{\partial x}|x\right\rangle$
Член с $dx^2$ вроде бы как бесконечно малая высокого порядка исчезает. Если вспомнить определение оператора импульса $P=-ih\frac{\partial}{\partial x}$ получаем $\left\langle x|x\right\rangle=0$.
Похоже не следовало отбрасывать член высокого порядка. Тогда
$\left\langle x|x\right\rangle=-\frac{1}{h^2}\left\langle x|P^2|x\right\rangle dx^2$.
Получается, что если матричный элемент оператора импульса между разными координатными функциями равен 0, то для матричного элемента оператора импульса выполняется равенство
$\left\langle x|P|x\right\rangle dx=ih$.
Вспомнив опять определение оператора импульса получаем
$\left\langle x|\frac{\partial}{\partial x}|x\right\rangle dx=-1$.
Может кто нибудь подтвердить, что все изложенное верно?

[amon]

OlegML в сообщении #1616972 писал(а):

$\left\langle x|[XP]|x'\right\rangle=\left\langle x|(XP-PX)|x'\right\rangle=(x-x')\left\langle x|P|x'\right\rangle=ih\left\langle x|x'\right\rangle$

Обозначим $\left\langle x|P|x'\right\rangle$ как $f(x,x').$ Замечая, что $\left\langle x|x'\right\rangle=\delta(x-x'),$ получаем уравнение $(x-x')f(x,x')=i\hbar\delta(x-x').$ Решая его (в обобщенных функциях) получим $f(x,x')=i\hbar\delta'(x-x')$ плюс еще кое-что, что обычно, но не всегда, выкидывается. $f(x,x')$ это ядро оператора $p$ в $x$-представлении. Значит сам оператор - $p=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}.$ Поскольку решение - обобщенная функция, то раскладывать ее в ряды - дело безнадежное.

[OlegML]

amon в сообщении #1617053 писал(а):

Обозначим $\left\langle x|P|x'\right\rangle$ как $f(x,x').$

Благодарю. Имеют ли дельта функция и (обобщенная) функция $f(x,x')$ конкретные значения при определенных x и x'?
Также вопрос для общего образования: Решение уравнений с дельта функцией ищется в обобщенных функциях?

[amon]

OlegML в сообщении #1617199 писал(а):

Имеют ли дельта функция и (обобщенная) функция $f(x,x')$ конкретные значения при определенных x и x'?

Обобщенные функции определяются как функционалы, действующие на обычные функции, и, в этом смысле, конкретных значений при конкретных иксах не имеют. Посмотрите книжку: Владимиров В.С. Обобщенные функции и их применение. Глядишь - поможет.