Коммутатор координаты и импульса

[OlegML]

Коммутатор координаты и импульса равен $[XP]=ih$ (Большими буквами обозначены операторы).
Найдем матричный элемент коммутатора между собственными функциями оператора X:
$\left\langle x|[XP]|x'\right\rangle=\left\langle x|(XP-PX)|x'\right\rangle=(x-x')\left\langle x|P|x'\right\rangle=ih\left\langle x|x'\right\rangle$
При $x\ne x'$ если разные координатные функции ортогональны (правая часть равна нулю), то все матричные элементы дипольного момента между разными координатными функциями также нулевые. Другими словами либо разные координатные функции неортогональны, либо координата и импульс имеют одинаковые собственные функции. Что из этого верно?
При $x=x'$ получаем, что правая часть равна нулю. Это не должно быть верным. Поэтому интересно рассмотреть случай бесконечно близких координат.
Пусть $x'=x-dx$, тогда матричный элемент коммутатора будет
$\left\langle x|[XP]|x-dx\right\rangle=dx\left\langle x|P|x-dx\right\rangle=ih\left\langle x|x-dx\right\rangle$
Подставим функцию $|(x-dx)>$ в виде $|(x-dx)> =|x>-dx\dfrac{\partial}{\partial x}|x>$
$dx\left\langle x|P|x\right\rangle-dx^2\left\langle x|P\frac{\partial}{\partial x}|x\right\rangle=ih\left\langle x|x\right\rangle-ihdx\left\langle x|\frac{\partial}{\partial x}|x\right\rangle$
Член с $dx^2$ вроде бы как бесконечно малая высокого порядка исчезает. Если вспомнить определение оператора импульса $P=-ih\frac{\partial}{\partial x}$ получаем $\left\langle x|x\right\rangle=0$.
Похоже не следовало отбрасывать член высокого порядка. Тогда
$\left\langle x|x\right\rangle=-\frac{1}{h^2}\left\langle x|P^2|x\right\rangle dx^2$.
Получается, что если матричный элемент оператора импульса между разными координатными функциями равен 0, то для матричного элемента оператора импульса выполняется равенство
$\left\langle x|P|x\right\rangle dx=ih$.
Вспомнив опять определение оператора импульса получаем
$\left\langle x|\frac{\partial}{\partial x}|x\right\rangle dx=-1$.
Может кто нибудь подтвердить, что все изложенное верно?

[amon]

OlegML в сообщении #1616972 писал(а):

$\left\langle x|[XP]|x'\right\rangle=\left\langle x|(XP-PX)|x'\right\rangle=(x-x')\left\langle x|P|x'\right\rangle=ih\left\langle x|x'\right\rangle$

Обозначим $\left\langle x|P|x'\right\rangle$ как $f(x,x').$ Замечая, что $\left\langle x|x'\right\rangle=\delta(x-x'),$ получаем уравнение $(x-x')f(x,x')=i\hbar\delta(x-x').$ Решая его (в обобщенных функциях) получим $f(x,x')=i\hbar\delta'(x-x')$ плюс еще кое-что, что обычно, но не всегда, выкидывается. $f(x,x')$ это ядро оператора $p$ в $x$-представлении. Значит сам оператор - $p=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}.$ Поскольку решение - обобщенная функция, то раскладывать ее в ряды - дело безнадежное.

[OlegML]

amon в сообщении #1617053 писал(а):

Обозначим $\left\langle x|P|x'\right\rangle$ как $f(x,x').$

Благодарю. Имеют ли дельта функция и (обобщенная) функция $f(x,x')$ конкретные значения при определенных x и x'?
Также вопрос для общего образования: Решение уравнений с дельта функцией ищется в обобщенных функциях?

[amon]

OlegML в сообщении #1617199 писал(а):

Имеют ли дельта функция и (обобщенная) функция $f(x,x')$ конкретные значения при определенных x и x'?

Обобщенные функции определяются как функционалы, действующие на обычные функции, и, в этом смысле, конкретных значений при конкретных иксах не имеют. Посмотрите книжку: Владимиров В.С. Обобщенные функции и их применение. Глядишь - поможет.

[Georgii]

Попытка разбить волновую функцию в координатном представлении на набор дельта-функций от координат противоречит физике. Причина в следующем - если мы попытаемся сжать волновую функцию в точку, то на это потребуется бесконечная энергия. Поэтому собственные функции оператора координат в виде дельта-функций (этакая попытка аналогии с собственными функциями оператора импульса) это математическая абстракция. Физическая суть волновой функции как-раз и заключается в том, что вероятность обнаружить частицу в одной конкретной точке всегда меньше единицы.

[amon]

Georgii в сообщении #1645856 писал(а):

Причина в следующем - если мы попытаемся сжать волновую функцию в точку, то на это потребуется бесконечная энергия.

Пургу в ПРР не гоните!

[Georgii]

1. $ \Delta x \Delta p_{x} \sim \hbar$, если $\Delta x$ устремить к нулю, $\Delta p_{x}$ стремиться к бесконечности.
2. Берём решение ур. Шрёдингера для потенциальной ямы. Смотрим в учебнике, что энергия основного состояния частицы внутри бесконечной потенциальной ямы обратно пропорциональна квадрату $a$ - ширине этой ямы,
$E \sim \frac{1}{a^2} $.
Устремляем $a \to 0$, тогда $E \to \infty$.

[Ende]

Georgii
Предупреждение за вводящие в заблуждение ответы в ПРР.

[amon]

Georgii в сообщении #1645882 писал(а):

$ \Delta x \Delta p_{x} \sim \hbar$, если $\Delta x$ устремить к нулю, $\Delta p_{x}$ стремиться к бесконечности.

И что? Если $\Delta p_{x}$ устремить к нулю, $\Delta x$ стремится к бесконечности. Такая вот незадача с точными значениями в квантовой механике, описанная во всех учебниках.

[Georgii]

У человека получается ерунда в формулах, так как он использует дельта-функции как волновые функции, что неверно. Поэтому OlegML и спрашивает "Другими словами либо разные координатные функции неортогональны, либо координата и импульс имеют одинаковые собственные функции. Что из этого верно?".

-- 09.07.2024, 23:50 --

amon в сообщении #1645886 писал(а):

Georgii в сообщении #1645882 писал(а):

$ \Delta x \Delta p_{x} \sim \hbar$, если $\Delta x$ устремить к нулю, $\Delta p_{x}$ стремиться к бесконечности.

И что? Если $\Delta p_{x}$ устремить к нулю, $\Delta x$ стремится к бесконечности. Такая вот незадача с точными значениями в квантовой механике, описанная во всех учебниках.

Получаем возможность бесконечного импульса у частицы при $\Delta p_{x} \to \infty$. А значит и бесконечной энергии. Что и требовалось доказать.

[amon]

Georgii в сообщении #1645887 писал(а):

Получаем возможность бесконечного импульса у частицы

Вы хотите об этом поговорить - открывайте отдельную тему, а лучше - учебник.

[Ende]

Georgii
Настоятельно рекомендую последовать этому совету.

amon в сообщении #1645888 писал(а):

Вы хотите об этом поговорить - открывайте отдельную тему, а лучше - учебник.

[Georgii]

Ваше мнение по этому вопросу меня больше не интересует, спасибо.

[pppppppo_98]

Georgii в сообщении #1645890 писал(а):

Ваше мнение по этому вопросу меня больше не интересует, спасибо.

За год то удалось открыть учебник по уравнениям математической физики и функциональному анализу. И разобраться с обобщенными функциями, распределениями, функциональным пространс вах,их пополнениям, операторам и их областях определениях, топологиях....обычно этому уча до изучения квантовой механики..Амон вам дал дельный совет и книгу кстати дельную предложил. А вы его отослали. Ну тогда не обижайтесь что вам не будут отвечать а модератор идал ше банить за любо1 прст в этой ветке

[pppppppo_98]

Georgii в сообщении #1645856 писал(а):

Попытка разбить волновую функцию в координатном представлении на набор дельта-функций от координат противоречит физике.

а киргофф то с пуассоном и гельмгольцем дураками то были - не знали об этом великом открытии в мат физике - взяли да построили теорию решений уравнений своего имени на дельта функции