Задача на время разгона частицы

[Mihr]

LILILILILI в сообщении #1645473 писал(а):

Я же правильно понимаю, что в данном случае уже прийдется использовать коэффицент $\gamma$ под знаком дифференциала

Да, если начинать со второго закона Ньютона. Если же сразу связать накопленную энергию со временем движения, то, вероятно, не придётся (пока точно не скажу, потому что таким способом ещё не решал).
В Вашем решении я вижу следующую ошибку (впрочем, возможно, это и не ошибка, а неаккуратное обозначение). Вы пишете

$$m_0 L \frac {d(\gamma u)} {\Delta E} = dt$$

Если здесь у Вас буква $L$ обозначает весь пройденный путь (как в условии задачи), то это ошибка. Если же в данном контексте $L$ - текущая координата частицы, то это верно (но неаккуратно). Проблема, однако, в том, что полученное Вами уравнение связывает сразу четыре переменных: $E, L, t, u$. И без дополнительных соотношений его решить нельзя.

(Ворчание)

В слове придётся буква и-краткое не нужна.

-- 07.07.2024, 09:31 --

Хотя нет, кажется, я понял Вас. Вы сразу учитываете тот факт, что сила постоянна, и вместо символа $F$ пишете $\dfrac{\Delta E}{L}$. Да, так можно, всё правильно. Единственная проблема: решив это уравнение, мы свяжем время с конечной скоростью, а не только с конечной энергией. То есть, это будет ещё не ответ. Но так решить действительно можно. Давайте попробуем, если хотите.

[LILILILILI]

Mihr в сообщении #1645479 писал(а):

Вы сразу учитываете тот факт, что сила постоянна

Да, учитывая то, что сила постоянна, я описывал работу как FL.

Mihr в сообщении #1645479 писал(а):

Единственная проблема: решив это уравнение, мы свяжем время с конечной скоростью, а не только с конечной энергией.

Если не ошибаюсь, в результате интегрирования $t = \text{const} \cdot f(u)$, получиться ли выразить $u$ так, чтобы получилось $u = \text{const} \cdot f(t)$, откуда и искать время (взять интеграл от скорости по времени, который будет равен L, а верхний предел - искомое время)? Или эта идея бредовая и неправильная?

[Mihr]

Нет, отчего же. Ваше рассуждение нормальное. Давайте его оформим в решение.
Начнём с того, что если дифференциалы двух функций равны, то эти функции могут различаться разве что на постоянное слагаемое (в частности, могут и совпадать). Поэтому из уравнения

$$mL \frac {d(\gamma u)} {\Delta E} = dt$$

которое можно пока переписать в виде

$$dt = d(\frac {m}{F} \gamma u)$$

мы получим в результате интегрирования

$$t = \frac {m}{F} \gamma u+C$$

где $C$ - постоянное слагаемое (постоянная интегрирования). Для определения этой константы используем, как принято говорить, начальные условия. Именно, заметим, что в начальный момент времени (при $t=0$) значение $\gamma u = 0$. Подставив эти нули в последнее уравнение, придём к выводу, что $C=0$. Таким образом, получаем

$$t = \frac {m}{F} \gamma u$$

Далее можно снова подставить вместо постоянной $F$ выражение $\dfrac{T}{L}$, где $T$ - кинетическая энергия. Теперь остаётся и кинетическую энергию, и скорость выразить через полную энергию, подставить сюда эти выражения, упростить ещё раз и получить ответ. Попробуйте довести до конца. Если вдруг не получится, пишите, продолжим вместе.

[LILILILILI]

Mihr в сообщении #1645576 писал(а):

Попробуйте довести до конца.

Я не мог понять как выразить обе величины через полную энергию, чтобы все в итоге сократилось, поэтому попробовал выразить $\gamma$ и $u$ через соотношение $E = (m_0 \gamma) c^2 = \gamma E_0$. В итоге, после подстановки и некоторых преобразований, получил выражение:

$$t = \frac {m_0 c} F \sqrt{\frac {E^2} {{E_0}^2} - 1} = \frac {L m_0 c} T \sqrt{\frac {E^2} {{E_0}^2} - 1}$$

Правильны ли мои рассуждения?

[Mihr]

LILILILILI в сообщении #1645606 писал(а):

Правильны ли мои рассуждения?

Рассуждения Вы не привели. Но, полагаю, нет, поскольку ответ неверен. Давайте наметим дальнейшее решение.
После того, как в равенстве

$$t = \frac {m}{F} \gamma u$$

мы заменим $F$ на $\dfrac{T}{L}$, получим

$$t = \frac {mL}{T} \gamma u$$

Это очевидно. Далее можно рассуждать так:

$T=E-E_0=E-mc^2$

Величину $\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$ получим из выражения для конечной энергии $E=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$. То есть, $\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}=\dfrac{mc^2}{E}$. И, таким образом, $\gamma=\dfrac{E}{mc^2}$. Из того же равенства $E=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$ не так уж трудно выразить величину $u$. Сделайте это самостоятельно. Потом подставьте выражения для $T, \gamma, u$ в равенство $t = \dfrac {mL}{T} \gamma u$ и посмотрите, что получается.

[LILILILILI]

Mihr в сообщении #1645628 писал(а):

Сделайте это самостоятельно. Потом подставьте выражения для $T, \gamma, u$ в равенство $t = \dfrac {mL}{T} \gamma u$ и посмотрите, что получается.

Попробовал выразить, получил данное выражение после подстановок и преобразований:

$$t = \frac L c \sqrt{\frac {E + E_0} {E - E_0}}$$

[Mihr]

LILILILILI, да, верно.

[LILILILILI]

Mihr в сообщении #1645634 писал(а):

LILILILILI, да, верно.

Видимо, то решение, о котором я спрашивал чуть выше было неверным, так как в каком-то моменте я неправильно выразил какую-то из величин.

Благодарю Вас за помощь!

[Mihr]

LILILILILI, пожалуйста. Обращайтесь

[мат-ламер]

Утундрий в сообщении #1645401 писал(а):

Последний раз редактировалось Утундрий
Сб июл 06, 2024 19:46:27, всего редактировалось 1 раз.

Релятивистское равноускоренное движение

Если, конечно, под "разгоном постоянной силой тела постоянной массы" понимать постоянство собственного ускорения.

мат-ламер в сообщении #1645404 писал(а):

Это не в тему.

Уточню. Задача для школьника и не предполагает знание дифференциального и интегрального исчисления. Не предполагается вычисление ни ускорений ни скоростей. Написал "не в тему", чтобы окончательно не запутать ТС. Теперь, когда ТС справился с задачей, если хочет потренировать свои навыки, пусть попробует подумать и в этом направлении.

мат-ламер в сообщении #1645410 писал(а):

Поясню. Постоянство силы в условии задачи подразумевает постоянство силы в лабораторной ИСО.

Отсюда не следует, что мы не можем рассмотреть СО, связанную с телом и рассмотреть, какие силы действуют на тело в этой СО (другой вопрос - нужно ли это?). В ней силы, действующие на тело, уравновешиваются, и тело в этой СО неподвижно. И если сила тело разгоняет , то это как-бы наталкивает на мысль, что всё-таки величины, о которых говорится в условии (длина пути, время движения, сила, разгоняющее тело) относятся к лабораторной ИСО.

[realeugene]

Работа силы это сила умножить на путь. Условие избыточно, не важно. Импульс силы - это сила умножить на время. Импульс и энергия частицы связаны функционально. Всё.

PS путь предполагается прямым, сила вдоль пути. Иначе задача кривая.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1645712 писал(а):

Работа силы это сила умножить на путь. Условие избыточно, не важно. Импульс силы - это сила умножить на время. Импульс и энергия частицы связаны функционально. Всё.

Конгениально!

Я имел в виду ровно такое же решение. И оно тут в теме расписано неоднократно.