Объединил в одну тему несколько смежных вопросов
по теории силовых полей.
Будем рассматривать степенные центральные поля
![$f \sim r^k, -\infty < k < \infty$ $f \sim r^k, -\infty < k < \infty$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/b/ceb9b88fc8bd4125c5046d323e65319682.png)
,
и единичную окружность, "заряженную" в смысле данного поля.
Вариант 1. Заряд по окружности распределен непрерывно.
Вариант 2. Заряды расположены в вершинах правильного
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-угольника
Нас будет интересовать
потенциал внутри окружности,
т.е. скалярная сумма или интеграл.
Потенциал
![$\psi$ $\psi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/3/7e3c241c2dec821bd6c6fbd314fe476282.png)
от заряда или малого элемента также будет степенным,
за исключением случая
![$f \sim r^{-1}$ $f \sim r^{-1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/c/e7cdfb8eeb4b41e3ea993af6c288dece82.png)
, тогда
![$\psi \sim \ln (r)$ $\psi \sim \ln (r)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/4/184fbb57a9df1f59ee6d4536fc5ec4f682.png)
Факт 1. Известно, что при
![$f \sim r^{-2}, \psi \sim r^{-1}$ $f \sim r^{-2}, \psi \sim r^{-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/8/848ea02ed69372b74b27f465f441abed82.png)
сила, действующая на пробный заряд внутри
сферы равна
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
, а потенциал постоянен. Это доказывается не только с помощью теоремы Гаусса,
но и через рассмотрение площадок, вырезаемых противоположными телесными углами.
В случае окружности и других степеней я затрудняюсь применить интегральные теоремы.
Применяя идею углов и дуг, получается, что при
![$f \sim r^{-1}, \psi \sim \ln (r)$ $f \sim r^{-1}, \psi \sim \ln (r)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/5/545c8944b7babd5cc630d167c862002f82.png)
полный потенциал внутри окружности должен быть постоянен, и это подтверждается пробными
расчетами.
Вопрос 1.1. Как это доказать?
Вопрос 1.2. Существуют ли другие потенциалы, возможно не степенные,
для которых потенциал внутри окружности постоянен?
Факт 2. В варианте 1 (сплошная окружность) потенциал сферически симметричен.
Если мы заменим окружность на правильный
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-угольник, то появляется зависимость от угла.
Но не всегда! Как обнаружилось интуитивно, а теперь
доказано:
Если
![$k = 2 d > 0$ $k = 2 d > 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/7/9d7b55fc83921f0dccfae3bdd71076a182.png)
, потенциал не зависит от угла при
![$d < n$ $d < n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/6/b06b7619bc5561ba1c1132ae31e6550482.png)
Вопрос 2. Что можно сказать про отрицательные степени?
Факт 3. Даже в случаях других
![$k>0$ $k>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/b/f9bbd08bf846520586581437c960abac82.png)
, зависимость потенциала от угла очень слаба.
Например, при
![$k = 1, n = 3$ $k = 1, n = 3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/7/c17817ca893001c044c19dad9ee5e73782.png)
и перемещении пробного заряда по окружности радиуса
![$0.5$ $0.5$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/e/cde2d598001a947a6afd044a43d1562982.png)
потенциал меняется в пределах
![$3.14 < \psi < 3.23$ $3.14 < \psi < 3.23$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/e/51ed0d972c9aba7e6851bb1b27cc4acf82.png)
А при
![$n = 4$ $4.23 < \psi < 4.25$ $n = 4$ $4.23 < \psi < 4.25$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/b/27b671e3dc63504721917985db3be20882.png)
Ни о какой "аппроксимации" окружности треугольником и квадратом нельзя говорить.
Вопрос 3.
Нужно рассмотреть суммы функций вида
![$(\sqrt{1+r^2-2r\cos(\theta_i - \phi)})^k$ $(\sqrt{1+r^2-2r\cos(\theta_i - \phi)})^k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/0/7d0552b2cc9b668fcfff2f3b523aea5682.png)
и оценить их вариацию,
понять, почему она мала даже при малых
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)