Потенциал окружности и n-угольника

[denny]

Объединил в одну тему несколько смежных вопросов
по теории силовых полей.

Будем рассматривать степенные центральные поля $f \sim r^k, -\infty < k < \infty$,
и единичную окружность, "заряженную" в смысле данного поля.

Вариант 1. Заряд по окружности распределен непрерывно.
Вариант 2. Заряды расположены в вершинах правильного $n$-угольника

Нас будет интересовать потенциал внутри окружности,
т.е. скалярная сумма или интеграл.
Потенциал $\psi$ от заряда или малого элемента также будет степенным,
за исключением случая $f \sim r^{-1}$, тогда $\psi \sim \ln (r)$

Факт 1. Известно, что при $f \sim r^{-2}, \psi \sim r^{-1}$ сила, действующая на пробный заряд внутри
сферы равна $0$, а потенциал постоянен. Это доказывается не только с помощью теоремы Гаусса,
но и через рассмотрение площадок, вырезаемых противоположными телесными углами.
В случае окружности и других степеней я затрудняюсь применить интегральные теоремы.
Применяя идею углов и дуг, получается, что при $f \sim r^{-1}, \psi \sim \ln (r)$
полный потенциал внутри окружности должен быть постоянен, и это подтверждается пробными
расчетами.
Вопрос 1.1. Как это доказать?
Вопрос 1.2. Существуют ли другие потенциалы, возможно не степенные,
для которых потенциал внутри окружности постоянен?

Факт 2. В варианте 1 (сплошная окружность) потенциал сферически симметричен.
Если мы заменим окружность на правильный $n$-угольник, то появляется зависимость от угла.
Но не всегда! Как обнаружилось интуитивно, а теперьдоказано:

Если $k = 2 d > 0$, потенциал не зависит от угла при $d < n$

Вопрос 2. Что можно сказать про отрицательные степени?

Факт 3. Даже в случаях других $k>0$, зависимость потенциала от угла очень слаба.
Например, при $k = 1, n = 3$ и перемещении пробного заряда по окружности радиуса $0.5$
потенциал меняется в пределах $3.14 < \psi < 3.23$
А при $n = 4$ $4.23 < \psi < 4.25$
Ни о какой "аппроксимации" окружности треугольником и квадратом нельзя говорить.
Вопрос 3.
Нужно рассмотреть суммы функций вида $(\sqrt{1+r^2-2r\cos(\theta_i - \phi)})^k$ и оценить их вариацию,
понять, почему она мала даже при малых $n$