Объединил в одну тему несколько смежных вопросов
по теории силовых полей.
Будем рассматривать степенные центральные поля
,
и единичную окружность, "заряженную" в смысле данного поля.
Вариант 1. Заряд по окружности распределен непрерывно.
Вариант 2. Заряды расположены в вершинах правильного
-угольника
Нас будет интересовать
потенциал внутри окружности,
т.е. скалярная сумма или интеграл.
Потенциал
от заряда или малого элемента также будет степенным,
за исключением случая
, тогда
Факт 1. Известно, что при
сила, действующая на пробный заряд внутри
сферы равна
, а потенциал постоянен. Это доказывается не только с помощью теоремы Гаусса,
но и через рассмотрение площадок, вырезаемых противоположными телесными углами.
В случае окружности и других степеней я затрудняюсь применить интегральные теоремы.
Применяя идею углов и дуг, получается, что при
полный потенциал внутри окружности должен быть постоянен, и это подтверждается пробными
расчетами.
Вопрос 1.1. Как это доказать?
Вопрос 1.2. Существуют ли другие потенциалы, возможно не степенные,
для которых потенциал внутри окружности постоянен?
Факт 2. В варианте 1 (сплошная окружность) потенциал сферически симметричен.
Если мы заменим окружность на правильный
-угольник, то появляется зависимость от угла.
Но не всегда! Как обнаружилось интуитивно, а теперь
доказано:
Если
, потенциал не зависит от угла при
Вопрос 2. Что можно сказать про отрицательные степени?
Факт 3. Даже в случаях других
, зависимость потенциала от угла очень слаба.
Например, при
и перемещении пробного заряда по окружности радиуса
потенциал меняется в пределах
А при
Ни о какой "аппроксимации" окружности треугольником и квадратом нельзя говорить.
Вопрос 3.
Нужно рассмотреть суммы функций вида
и оценить их вариацию,
понять, почему она мала даже при малых