2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Потенциал окружности и n-угольника
Сообщение07.07.2024, 07:17 


20/12/14
148
Объединил в одну тему несколько смежных вопросов
по теории силовых полей.

Будем рассматривать степенные центральные поля $f \sim r^k, -\infty < k < \infty$,
и единичную окружность, "заряженную" в смысле данного поля.

Вариант 1. Заряд по окружности распределен непрерывно.
Вариант 2. Заряды расположены в вершинах правильного $n$-угольника

Нас будет интересовать потенциал внутри окружности,
т.е. скалярная сумма или интеграл.
Потенциал $\psi$ от заряда или малого элемента также будет степенным,
за исключением случая $f \sim r^{-1}$, тогда $\psi \sim \ln (r)$

Факт 1. Известно, что при $f \sim r^{-2}, \psi \sim r^{-1}$ сила, действующая на пробный заряд внутри
сферы равна $0$, а потенциал постоянен. Это доказывается не только с помощью теоремы Гаусса,
но и через рассмотрение площадок, вырезаемых противоположными телесными углами.
В случае окружности и других степеней я затрудняюсь применить интегральные теоремы.
Применяя идею углов и дуг, получается, что при $f \sim r^{-1}, \psi \sim  \ln (r)$
полный потенциал внутри окружности должен быть постоянен, и это подтверждается пробными
расчетами.
Вопрос 1.1. Как это доказать?
Вопрос 1.2. Существуют ли другие потенциалы, возможно не степенные,
для которых потенциал внутри окружности постоянен?

Факт 2. В варианте 1 (сплошная окружность) потенциал сферически симметричен.
Если мы заменим окружность на правильный $n$-угольник, то появляется зависимость от угла.
Но не всегда! Как обнаружилось интуитивно, а теперьдоказано:

Если $k = 2 d > 0$, потенциал не зависит от угла при $d < n$

Вопрос 2. Что можно сказать про отрицательные степени?

Факт 3. Даже в случаях других $k>0$, зависимость потенциала от угла очень слаба.
Например, при $k = 1, n = 3$ и перемещении пробного заряда по окружности радиуса $0.5$
потенциал меняется в пределах $3.14 < \psi < 3.23$
А при $n = 4$     $4.23 < \psi < 4.25$
Ни о какой "аппроксимации" окружности треугольником и квадратом нельзя говорить.
Вопрос 3.
Нужно рассмотреть суммы функций вида $(\sqrt{1+r^2-2r\cos(\theta_i - \phi)})^k$ и оценить их вариацию,
понять, почему она мала даже при малых $n$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group