Планиметрия. Короткая, но сложная задача 7-8 класс.

[uspehBkvadrate]

В нeкoтopoм чeтыpexyгoльникe $MNCD$ paвны длины $MD = NC$; $\angle MND + \angle CDN = 180^\circ$. Докaжитe, что $\angle NMD = \angle NCD$. Чeтыpeхyгольник $MNCD$ - выпyклый.



$\alpha+\beta = 180^\circ$ по условию.

Была идея продлить $ND$ за точку $N$ на длину отрезка $ND$, тогда получим треугольник $ENM$, в котором есть угол $\beta$. Также пробовал провести прямую $ER$ параллельно $MD$ таким образом, что $MD=ER$, тогда максимум что мы получим, что точки $R, N, M$ лежат на одной прямой.
Закрадываются подозрения, что недостаточно условий в задаче или я что-то не понимаю.

[dgwuqtj]

Можно применить теорему синусов, только выпуклость придётся где-то явно использовать.

[Null]

Берем треугольник $NCD$ и отражаем так чтобы точки $N$ и $D$ поменялись местами.

[uspehBkvadrate]

dgwuqtj в сообщении #1645271 писал(а):

Можно применить теорему синусов, только выпуклость придётся где-то явно использовать.

Спасибо. С теоремой синусов понял, отличная идея и правда сразу решается. Но интересно, что теорема синусов в 9-ом классе проходится, а эта задача для 7-8 класса. Должно быть что-то без использования синусов, косинусов.

-- 05.07.2024, 19:48 --

Null в сообщении #1645272 писал(а):

Берем треугольник $NCD$ и отражаем так чтобы точки $N$ и $D$ поменялись местами.

Спасибо! Правильно ли понял, что речь идет о зеленом треугольнике $\Delta DNC_2$?

[vpb]

Нет, неправильно. Отразите $NCD$ относительно срединного перпендикуляра к отрезку $ND$. Т.е., не вспоминая даже про отражения, постройте точку $C_3$ такую, что $NC_3=DC$, $\angle DNC_3=\beta$, и $C_3$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $ND$, что и $C$.

[uspehBkvadrate]

vpb в сообщении #1645279 писал(а):

Нет, неправильно. Отразите $NCD$ относительно срединного перпендикуляра к отрезку $ND$. Т.е., не вспоминая даже про отражения, постройте точку $C_3$ такую, что $NC_3=DC$, $\angle DNC_3=\beta$, и $C_3$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $ND$, что и $C$.

Спасибо, все оказалось очень просто. С таким рисунком решение уже понятно. Только как догадываться, что именно так нужно делать дополнительное построение, а не иначе?

[Null]

uspehBkvadrate в сообщении #1645284 писал(а):

Только как догадываться, что именно так нужно делать дополнительное построение, а не иначе?

Если есть 2 угла в сумме дающие $180^\circ$, то надо их сложить.

[Евгений Машеров]

MN и CD параллельны (в силу равенства суммы углов 180 градусам). Четвероугольник - параллелограмм.

[vpb]

Евгений Машеров в сообщении #1645333 писал(а):

MN и CD параллельны (в силу равенства суммы углов 180 градусам). Четвероугольник - параллелограмм.

Мне тоже отчего-то сначала так показалось. Потом вижу, что коллеги другое написали, и понял, где ошибся.

[TOTAL]

Треугольник NCD отрываем и сдвигаем, совмещая NC с MD. Получаем вписанный четырёхугольник (ведь сумма противоположных углов равна $180$), в котором интересующие нас углы равны (ведь они опираются на равные хорды). Это решение для какого класса?

[Revol]

Перевернули треугольник NCD так что сторона CD пошла по линии NM, а линия ND осталась самой собой. Точки N и D перешли друг в друга. Получится равнобедренный треугольник MCD, его углы при боковых сторонах обязаны быть равны.

-- 06.07.2024, 19:58 --

dgwuqtj
При решении таких задач надо забыть про теоремы синусов и косинусов.