2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Планиметрия. Короткая, но сложная задача 7-8 класс.
Сообщение05.07.2024, 19:21 


01/02/24
15
В нeкoтopoм чeтыpexyгoльникe $MNCD$ paвны длины $MD = NC$; $\angle MND + \angle CDN = 180^\circ$. Докaжитe, что $\angle NMD = \angle NCD$. Чeтыpeхyгольник $MNCD$ - выпyклый.

Изображение

$\alpha+\beta = 180^\circ$ по условию.

Была идея продлить $ND$ за точку $N$ на длину отрезка $ND$, тогда получим треугольник $ENM$, в котором есть угол $\beta$. Также пробовал провести прямую $ER$ параллельно $MD$ таким образом, что $MD=ER$, тогда максимум что мы получим, что точки $R, N, M$ лежат на одной прямой.
Закрадываются подозрения, что недостаточно условий в задаче или я что-то не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Короткая, но сложная задача 7-8 класс.
Сообщение05.07.2024, 19:30 
Заслуженный участник


07/08/23
1097
Можно применить теорему синусов, только выпуклость придётся где-то явно использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Короткая, но сложная задача 7-8 класс.
Сообщение05.07.2024, 19:35 
Заслуженный участник


12/08/10
1677
Берем треугольник $NCD$ и отражаем так чтобы точки $N$ и $D$ поменялись местами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Короткая, но сложная задача 7-8 класс.
Сообщение05.07.2024, 19:39 


01/02/24
15
dgwuqtj в сообщении #1645271 писал(а):
Можно применить теорему синусов, только выпуклость придётся где-то явно использовать.

Спасибо. С теоремой синусов понял, отличная идея и правда сразу решается. Но интересно, что теорема синусов в 9-ом классе проходится, а эта задача для 7-8 класса. Должно быть что-то без использования синусов, косинусов.

-- 05.07.2024, 19:48 --

Null в сообщении #1645272 писал(а):
Берем треугольник $NCD$ и отражаем так чтобы точки $N$ и $D$ поменялись местами.

Спасибо! Правильно ли понял, что речь идет о зеленом треугольнике $\Delta DNC_2$?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Короткая, но сложная задача 7-8 класс.
Сообщение05.07.2024, 20:06 
Заслуженный участник


18/01/15
3231
Нет, неправильно. Отразите $NCD$ относительно срединного перпендикуляра к отрезку $ND$. Т.е., не вспоминая даже про отражения, постройте точку $C_3$ такую, что $NC_3=DC$, $\angle DNC_3=\beta$, и $C_3$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $ND$, что и $C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Короткая, но сложная задача 7-8 класс.
Сообщение05.07.2024, 20:40 


01/02/24
15
vpb в сообщении #1645279 писал(а):
Нет, неправильно. Отразите $NCD$ относительно срединного перпендикуляра к отрезку $ND$. Т.е., не вспоминая даже про отражения, постройте точку $C_3$ такую, что $NC_3=DC$, $\angle DNC_3=\beta$, и $C_3$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $ND$, что и $C$.


Изображение


Спасибо, все оказалось очень просто. С таким рисунком решение уже понятно. Только как догадываться, что именно так нужно делать дополнительное построение, а не иначе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Короткая, но сложная задача 7-8 класс.
Сообщение05.07.2024, 21:43 
Заслуженный участник


12/08/10
1677
uspehBkvadrate в сообщении #1645284 писал(а):
Только как догадываться, что именно так нужно делать дополнительное построение, а не иначе?
Если есть 2 угла в сумме дающие $180^\circ$, то надо их сложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Короткая, но сложная задача 7-8 класс.
Сообщение06.07.2024, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
MN и CD параллельны (в силу равенства суммы углов 180 градусам). Четвероугольник - параллелограмм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Короткая, но сложная задача 7-8 класс.
Сообщение06.07.2024, 14:51 
Заслуженный участник


18/01/15
3231
Евгений Машеров в сообщении #1645333 писал(а):
MN и CD параллельны (в силу равенства суммы углов 180 градусам). Четвероугольник - параллелограмм.
Мне тоже отчего-то сначала так показалось. Потом вижу, что коллеги другое написали, и понял, где ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Короткая, но сложная задача 7-8 класс.
Сообщение06.07.2024, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
Треугольник NCD отрываем и сдвигаем, совмещая NC с MD. Получаем вписанный четырёхугольник (ведь сумма противоположных углов равна $180$), в котором интересующие нас углы равны (ведь они опираются на равные хорды). Это решение для какого класса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Короткая, но сложная задача 7-8 класс.
Сообщение06.07.2024, 19:57 


05/07/24

16
Перевернули треугольник NCD так что сторона CD пошла по линии NM, а линия ND осталась самой собой. Точки N и D перешли друг в друга. Получится равнобедренный треугольник MCD, его углы при боковых сторонах обязаны быть равны.

-- 06.07.2024, 19:58 --

dgwuqtj
При решении таких задач надо забыть про теоремы синусов и косинусов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group