И снова третий ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ!!!!!

[pppppppo_98]

reterty в сообщении #1644777 писал(а):

Вы, простите, можете указать на ошибку в моих вычислениях?

нет не могу - за отсутствие вычислений...

[reterty]

pppppppo_98 в сообщении #1644778 писал(а):

reterty в сообщении #1644777 писал(а):

Вы, простите, можете указать на ошибку в моих вычислениях?

нет не могу - за отсутствие вычислений...

По совету drzewo, записываю Гамильтониан в новых переменных:

$$ \mathcal{H}=\dfrac{p_{X}^2+p_{Y}^2}{4m}+\dfrac{kX^2}{2}.$$

Вычисляю теперь скобку Пуассона и приравниваю ее к нулю:

$$\lbrace f, \mathcal{H}\rbrace=\dfrac{p_X}{2m}\dfrac{\partial f}{\partial X}-kX\dfrac{\partial f}{\partial p_X}+\dfrac{p_Y}{2m}\dfrac{\partial f}{\partial Y}=0.$$

Далее можно выписать уравнения характеристик:

$$ \dfrac{{\rm d}X}{p_X/2m}=\dfrac{{\rm d}Y}{p_Y/2m}=-\dfrac{{\rm d}p_X}{kX}$$

Интересующим нас решением этой системы ОДУ (третьим первым интегралом) будет:

$$f_3= \dfrac{p_X p_Y}{2m}+kXY$$

. Для проверки правильности нахождения этого интеграла движения вычисляю скобку Пуассона:

$$ \lbrace f_3, \mathcal{H}\rbrace= \dfrac{kYp_X}{2m}.......$$

А должен был получиться нуль!?? Помогите найти ошибку!

[svv]

Из последнего равенства Вашего уравнения характеристик (предположим, что оно правильное) можно получить
$\dfrac{p_Y dp_X}{2m}+kXdY=0$
Но как Вам удалось привести это к
$d\left(\dfrac{p_X p_Y}{2m}+kXY\right)=0$
?

[pppppppo_98]

svv в сообщении #1644819 писал(а):

Из последнего равенства Вашего уравнения характеристик (предположим, что оно правильное) можно получить
$\dfrac{p_Y dp_X}{2m}+kXdY=0$
Но как Вам удалось привести это к
$d\left(\dfrac{p_X p_Y}{2m}+kXY\right)=0$
?

правая рука в гипсе формул писать не буду... Ну с рервым испульсным слагаемы - куда не шло по степени свободы y - импульс певый интеграл, ну считай константа- ее свободно под знак дифференциала можно пернести - все равно потом производная 0. А вот со вторым слагаемым произведение координат- да феерично видеть от кандидата физ мат наук - пусть и в области программирования

-- Ср июл 03, 2024 18:44:28 --

reterty в сообщении #1644782 писал(а):

Далее можно выписать уравнения характеристик:

$$ \dfrac{{\rm d}X}{p_X/2m}=\dfrac{{\rm d}Y}{p_Y/2m}=-\dfrac{{\rm d}p_X}{kX}$$

вот в это уравнении. убираете треть равенство. Во втором равенств в знаменателе дроби стоит константа (первый интеграл) - вносите тего под знак дифференциала. В перомо члене равенства выражаете $p_X$ Через энергию (первый интеграл) и X. Получаете простейшее тождество в жифференциалах их которого находите нужный ваа первый интеграл, который совпадает с тем шо я вам говорил получается апри решеии динамических уравнений

[reterty]

Всем спасибо! Разобрался. И получил третью постоянную движения через арктангенс.

[drzewo]

То что любое диф. уравнение имеет полный набор первых интегралов в окрестности всякой неособой точки -- это известно.
Полученный дополнительный первый интеграл ни в каком смысле ни какую дополнительную информацию о системе не сообщает. Но забавно другое.
TC ,желая получить первый интеграл для ОДУ, пишет уравнение в частных производных, затем пишет уравнение характеристик для этого УрЧП, не видя , что уравнение характеристик -- это теже самые ОДУ с которых он начал, а иначе и быть не могло. И вот решая эти новые-старые уравнения он находит наконец их первый интеграл.

[reterty]

drzewo в сообщении #1644991 писал(а):

То что любое диф. уравнение имеет полный набор первых интегралов в окрестности всякой неособой точки -- это известно.
Полученный дополнительный первый интеграл ни в каком смысле ни какую дополнительную информацию о системе не сообщает. Но забавно другое.
TC ,желая получить первый интеграл для ОДУ, пишет уравнение в частных производных, затем пишет уравнение характеристик для этого УрЧП, не видя , что уравнение характеристик -- это теже самые ОДУ с которых он начал, а иначе и быть не могло. И вот решая эти новые-старые уравнения он находит наконец их первый интеграл.

Mille pardons, mon cher ami! Но я начал с записи Гамильтониана а на с ОДУ. Впрочем, Ваш hint с указанием на естественную замену переменных (а с этого нужно и начинать в любой задаче двух тел) оказался очень кстати! Merci!

[svv]

Я решил ещё проверить Ваши выкладки. В координатах $X,Y$ лагранжиан
$L=\frac m 4\left(\dot X^2+\dot Y^2 \right)-\frac k 2 X^2$
Обобщённые импульсы — это не "масса на скорость", а
$\begin{array}{l}p_X=\frac{\partial L}{\partial \dot X}=\frac 1 2 m \dot X\\[1ex]p_Y=\frac{\partial L}{\partial \dot Y}=\frac 1 2 m \dot Y\end{array}$
Поэтому гамильтониан
$H=\frac 1 m p_X^2+\frac 1 m p_Y^2+\frac k 2 X^2$

reterty в сообщении #1644982 писал(а):

Разобрался. И получил третью постоянную движения через арктангенс.

А можно на неё посмотреть?

[reterty]

svv в сообщении #1645065 писал(а):

Поэтому гамильтониан
$H=\frac 1 m p_X^2+\frac 1 m p_Y^2+\frac k 2 X^2$

reterty в сообщении #1644982 писал(а):

Разобрался. И получил третью постоянную движения через арктангенс.

А можно на неё посмотреть?

Итак, три интеграла движения следующие:

$$ f_1=\mathcal{H}=\dfrac{p_{X}^2+p_{Y}^2}{m}+\dfrac{kX^2}{2},$$

$$ f_2=p_{Y},$$

$$f_3= Y+\sqrt{\dfrac{2}{mk}}p_Y\arctg\left(\sqrt{\dfrac{2}{mk}} \dfrac{p_X}{\vert X \vert} \right).$$

[svv]

reterty
У меня получилось $\arctg\frac{\omega X}{\dot X}-\frac{\omega Y}{\dot Y}$, где $\omega^2=\frac{2k}{m}$
Похоже, всё то же с точностью до обозначений, постоянных множителей. Только другой знак меня беспокоит. Я тоже мог ошибиться.

[reterty]

svv в сообщении #1645115 писал(а):

reterty
У меня получилось $\arctg\frac{\omega X}{\dot X}-\frac{\omega Y}{\dot Y}$, где $\omega^2=\frac{2k}{m}$
Похоже, всё то же с точностью до обозначений, постоянных множителей. Только другой знак меня беспокоит. Я тоже мог ошибиться.

Вы не ошиблись. Просто $\arctg(1/x)=\pm \dfrac{\pi}{2}-\arctg(x)$.

[svv]

Да, действительно, у Вас же числитель и знаменатель поменялись местами. Ну, или у меня.

-- Чт июл 04, 2024 14:00:06 --

(Оффтоп)

pppppppo_98 в сообщении #1644961 писал(а):

правая рука в гипсе формул писать не буду...

А когда гипс должны снять? Я буду задавать такие вопросы, чтобы Вам приходилось писать много формул и рука разрабатывалась.

[pppppppo_98]

svv в сообщении #1645126 писал(а):

А когда гипс должны снять?

(Оффтоп)

не раньше чем через неделю