2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверить борелевость множества
Сообщение03.07.2024, 22:53 


26/06/15
74
Здравствуйте. Продолжаю мучить тервер, подскажите, пожалуйста.
Задача в том, чтобы узнать, принадлежит ли множество $\{(x_n) : \lim\limits_{N \to \infty} \sup\limits_{n > N} x_n \leqslant 1 \}$ борелевским на $R^\infty$.
И в это задаче непонятно всё. Что это за множество такое? Я сперва думал, что оно равно $ \bigcup\limits_{N= 1}^{\infty}\{(x_n): \sup\limits_{n > N} x_n \leqslant 1 \} $, но потом указали, что кроме них, там есть, например, $x_n = 1 + \frac{1}{n}$.
Как вообще можно показывать, что что-то принадлежит борелевским? Я смог придумать только свести счётным операциям на то, что точно борелевское, но тут странное непонятное множество. Ещё была мысль показать, что не выполняется какое-либо свойство борелевского, но какие у них вообще свойства?
Я пробился над задачей полтора дня, искал в интернете, учебниках, пересмотрел лекции несколько раз и чем дальше, тем больше кажется, что ничего не понимаю

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить борелевость множества
Сообщение03.07.2024, 23:27 


21/12/16
721
$$A_{N,m}=\{\{x_k\}\mid\sup_{n>N}x_n\le 1+1/m\},\qquad
\bigcap_{m>0}\bigcup_{N>0}A_{N,m}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить борелевость множества
Сообщение03.07.2024, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
А как устроена топология на $\mathbb R^\infty$ Вы понимаете?

Рассуждать тут нужно так. Что значит, что последовательность принадлежит нашему множеству? Ну во-первых, все члены последовательности, начиная с некоторого, меньше $2$. Множество таких последовательностей боррелевское?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить борелевость множества
Сообщение04.07.2024, 16:31 


26/06/15
74
mihaild в сообщении #1645055 писал(а):
А как устроена топология на $\mathbb R^\infty$ Вы понимаете?
Вроде бы да, либо открытыми шарами, либо, равносильно, цилиндрическими множествами.

mihaild в сообщении #1645055 писал(а):
все члены последовательности, начиная с некоторого, меньше $2$. Множество таких последовательностей боррелевское?

Насколько я понимаю, получается такое множество $\bigcup\limits_{N=0}^{\infty} \{(x) :  \sup\limits_{n > N} x_n < 2 \}$. Для фиксированного $N$ каждое представляется в виде $\mathbb{R}_1 \times \dots \times\mathbb{R}_N  \times (-\infty, 2) \times \dots$. Т.е. открытый прямоугольник

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить борелевость множества
Сообщение04.07.2024, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Правильно. Можно еще для красоты написать $\bigcup\limits_{N=0}^\infty \bigcap\limits_{M=N}^\infty \{ x | x_M < 2\}$.

А еще все члены последовательности, начиная, опять же, с некоторого, меньше $1 + \frac{1}{n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить борелевость множества
Сообщение04.07.2024, 20:04 


21/12/16
721
Пространство $\mathbb{R}^\infty$ является полным метрическим пространством как всякое счетное тихоновское произведение полных метрических пространств.
Метрика задается формулой
$$\rho(\{x_k\},\{y_k\})=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}\min\{1,|x_k-y_k|\}.$$
Сходимость по этой метрике означает просто покоординатную сходимость. Ни в каких общетопологических построениях просто нет надобности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group