Проверить борелевость множества

[seraphimt]

Здравствуйте. Продолжаю мучить тервер, подскажите, пожалуйста.
Задача в том, чтобы узнать, принадлежит ли множество $\{(x_n) : \lim\limits_{N \to \infty} \sup\limits_{n > N} x_n \leqslant 1 \}$ борелевским на $R^\infty$.
И в это задаче непонятно всё. Что это за множество такое? Я сперва думал, что оно равно $ \bigcup\limits_{N= 1}^{\infty}\{(x_n): \sup\limits_{n > N} x_n \leqslant 1 \} $, но потом указали, что кроме них, там есть, например, $x_n = 1 + \frac{1}{n}$.
Как вообще можно показывать, что что-то принадлежит борелевским? Я смог придумать только свести счётным операциям на то, что точно борелевское, но тут странное непонятное множество. Ещё была мысль показать, что не выполняется какое-либо свойство борелевского, но какие у них вообще свойства?
Я пробился над задачей полтора дня, искал в интернете, учебниках, пересмотрел лекции несколько раз и чем дальше, тем больше кажется, что ничего не понимаю

[drzewo]

$$A_{N,m}=\{\{x_k\}\mid\sup_{n>N}x_n\le 1+1/m\},\qquad \bigcap_{m>0}\bigcup_{N>0}A_{N,m}$$

[mihaild]

А как устроена топология на $\mathbb R^\infty$ Вы понимаете?

Рассуждать тут нужно так. Что значит, что последовательность принадлежит нашему множеству? Ну во-первых, все члены последовательности, начиная с некоторого, меньше $2$. Множество таких последовательностей боррелевское?

[seraphimt]

mihaild в сообщении #1645055 писал(а):

А как устроена топология на $\mathbb R^\infty$ Вы понимаете?

Вроде бы да, либо открытыми шарами, либо, равносильно, цилиндрическими множествами.

mihaild в сообщении #1645055 писал(а):

все члены последовательности, начиная с некоторого, меньше $2$. Множество таких последовательностей боррелевское?

Насколько я понимаю, получается такое множество $\bigcup\limits_{N=0}^{\infty} \{(x) : \sup\limits_{n > N} x_n < 2 \}$. Для фиксированного $N$ каждое представляется в виде $\mathbb{R}_1 \times \dots \times\mathbb{R}_N \times (-\infty, 2) \times \dots$. Т.е. открытый прямоугольник

[mihaild]

Правильно. Можно еще для красоты написать $\bigcup\limits_{N=0}^\infty \bigcap\limits_{M=N}^\infty \{ x | x_M < 2\}$.

А еще все члены последовательности, начиная, опять же, с некоторого, меньше $1 + \frac{1}{n}$.

[drzewo]

Пространство $\mathbb{R}^\infty$ является полным метрическим пространством как всякое счетное тихоновское произведение полных метрических пространств.
Метрика задается формулой

$$\rho(\{x_k\},\{y_k\})=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}\min\{1,|x_k-y_k|\}.$$

Сходимость по этой метрике означает просто покоординатную сходимость. Ни в каких общетопологических построениях просто нет надобности.