Как называется подмножество группы?

[B@R5uk]

Как называется подмножество группы, состоящее из всех элементов, которые переходят сами в себя при действии на эту группу её автоморфизмов?

Вот, например, в группах $\mathbb{Z}_9\times\mathbb{Z}_3$ и $\mathbb{Z}_9\rtimes\mathbb{Z}_3$ эквивалентные элементы помечены цветными прямоугольниками на графе циклов под спойлером (для этой пары групп совпадают как граф циклов, так и lattice of subgroups — тоже, кстати, как правильно на могучем называется?):

(Картинка)

[mathematician123]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fixed-point_subgroup

[dgwuqtj]

Если вам нужны элементы, сохраняющиеся при всех автоморфизмах, то их логично называть характеристическими. Хотя я такого термина не встречал, видимо, нужды не было.

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

B@R5uk в сообщении #1645101 писал(а):

так и lattice of subgroups — тоже, кстати, как правильно на могучем называется?

Так и будет: "решетка подгрупп". Подгруппы группы $G$ образуют решетку относительно обычного пересечения $\wedge = \cap$ и джойна $\vee$. Джойн $A \vee B = \left\langle A \cup B \right\rangle$ - это минимальная подгруппа, содержащая объединение групп $A$ и $B$.

[B@R5uk]

EminentVictorians, спасибо. Я обычно вики для перевода использую: если для термина есть статьи на обоих языках, то значит он более-менее устоявшийся. У решётки нету отечественной статьи.

EminentVictorians в сообщении #1645116 писал(а):

Подгруппы группы образуют решетку относительно обычного пересечения и джойна.

Я правильно понимаю, что решётка одна и та же, а какая именно операция имеется в виду определяется направлением движения: от корня (тривиальной подгруппы с нейтральным элементов) к вершине (тривиальной подгруппы, являющейся группой) или в другую сторону?

mathematician123, dgwuqtj, я, наверное, не совсем понятно выразился с вопросом в первом посте. Элементы не остаются неподвижными относительно автоморфизмов. Более того, рассматривается не один автоморфизм, а вся группа автоморфизмов и смотрится какие элементы в какие переходят. Относительно этой операции элементы исходной группы разбиваются на классы эквивалентности, вот эти классы на картинке цветом и выделены. Они не являются подгруппами, хотя бы потому, что нейтральный элемент остаётся неподвижным относительно любого автоморфизма и не входит ни в какое другое подмножество элементов группы, кроме класса с самим собой. Как эти классы эквивалентности или подмножества называются?

Но за термин спасибо. Интересно, что каждому элементу исходной группы, соответствует подгруппа группы автоморфизмов, которая оставляет его неподвижным (как этот случай тоже называется? — это третий отдельный термин, если он существует) и, наоборот, каждому автоморфизму соответствует подгруппа исходной группы, называемая fixed-point subgroup, которая остаётся неподвижной. Устоявшийся русский перевод для этого термина есть?

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1645116 писал(а):

пересечения $\wedge = \cap$ и джойна $\vee$.

Инфимума и супремума. В решётке подгрупп инфимум - это пересечение, а супремум пары подгрупп - это подгруппа, порождённая их объединением.

B@R5uk в сообщении #1645129 писал(а):

fixed-point subgroup

Подгруппа неподвижных точек.

B@R5uk в сообщении #1645129 писал(а):

как этот случай тоже называется?

Стабилизатор элемента под действием группы автоморфизмов.

B@R5uk в сообщении #1645129 писал(а):

Как эти классы эквивалентности или подмножества называются?

Вот тут не знаю, для действия самой группы это классы сопряжённости. Так и называйте, орбитами под действием группы автоморфизмов.

[B@R5uk]

dgwuqtj, спасибо.