Задача по линейной алгебре

[Bober2]

Добрый день уважаемые участники форума! Прошу Вас дать каке-нибудь подсказки к данной задаче:
Если матрица B коммутирует с любой матрицей, коммутирующей с A, то B - это многочлен от A
За ранее спасибо Вам!

[dgwuqtj]

Это над каким полем? Если над $\mathbb C$ (ну или алгебраически замкнутым), то можно просто посчитать всю алгебру матриц, коммутирующих с $A$, если $A$ в жордановой нормальной форме.

[drzewo]

Мальцев Основы линейной алгебры

[sirvff]

корневые подпространства при степенях тоже в корневые переходят, соотв. мы получаем что у В любое корневое для А переводится в корневое же и из гамильтона-кэли тогда вроде и получается всё

[vpb]

Гм. И в самом деле это теорема из Мальцева. Если же хотите решать самостоятельно... Начните с того, чтобы свести к случаю, когда у матрицы лишь одно собственное значение (разложив на блоки). А дальше всё равно в Мальцева лучше посмотреть. (Я лично не скажу сразу, как там дальше надо).

-- 03.07.2024, 21:29 --

А Мальцев книжка хорошая. Хотя доказательство теоремы о жордановой форме там несколько старомодное, даже устарелое, и не самое понятное. (Через $\lambda$-матрицы). Что на самом деле эквивалентно доказательству через модули над кольцом многочленов, впрочем.

[Bober2]

vpb в сообщении #1645043 писал(а):

Гм. И в самом деле это теорема из Мальцева. Если же хотите решать самостоятельно... Начните с того, чтобы свести к случаю, когда у матрицы лишь одно собственное значение (разложив на блоки). А дальше всё равно в Мальцева лучше посмотреть. (Я лично не скажу сразу, как там дальше надо).

-- 03.07.2024, 21:29 --

А Мальцев книжка хорошая. Хотя доказательство теоремы о жордановой форме там несколько старомодное, даже устарелое, и не самое понятное. (Через $\lambda$-матрицы). Что на самом деле эквивалентно доказательству через модули над кольцом многочленов, впрочем.

Для одной Жордановой клетки доказывать я умею. Посмотрел далее доказательство в Мальцеве, но оно, как по мне, очень техничное. Есть надежда, что есть более красивое доказательство, но я его пока не нашёл.