Квартеты на 2*l/(l^2-1) = (y^2-1)*(x^2+y^2)/x

[Volik]

Извиняюсь! Уже и сам допер, пусть поздно.

-- 15.06.2024, 17:30 --

Из Вашего кода возник новый вопрос! У меня решение требует чтобы $l=\frac{p^2+2}{p^2-2}$, а Ваши l дают мнимые иррациональные p. Сделать их вещественными можно, заменив l на -1/l. А с иррациональностью большой вопрос! Буду искать ошибку в своих построениях. Хотя надеялся что кто то подскажет.

[scwec]

Volik
Исходному уравнению соответствует семейство эллиптических кривых с рациональным параметром $l$.
В Вейерштрассовой форме уравнение можно записать как $w^2=u^3+2(l^4+1)u^2+{(l^4-1)^2}u$, где $u,v$ - рациональные функции $x,y$.
Все перечисленные выше тривиальные рациональные точки (6 штук) соответствуют точкам кручения (их на каждой кривой 8 штук,
из них $\infty$ и $(0,0)$ исключаются)
Рациональные точки бесконечного порядка появляются на кривых с ненулевым рангом.
Так, для $l=4,6,15,20,21,22,24,27,30,32,33,34,35,36,38,40,41,44,45,46,47,49...$ ранг больше нуля и нетривиальные рациональные точки
на этих кривых имеются. Для других $l<50$ нетривиальных рациональных точек нет. Вычисления проводились с помощью Pari/GP.
Т,о., наличие нетривиальных рациональных точек определяется рангом кривых, что делает задачу для произвольного $l$ нерешаемой в рациональных функциях.

[Volik]

Огромное спасибо. Мне Maple давал форму Вейерштрасса с гораздо худшими коэффициентами, а Pari/GP я так и не освоил. Появились
новые соображения, буду продолжать.

[scwec]

Вот 1-параметрическое решение исходного уравнения в рациональных числах.
$l = \dfrac{t^2-3}{2t}$
$x = \dfrac{(t^2-1)(t^2-9)(t^2+9)^2{(t^2+1)^2}}{64t^3(t^2-3){(t^2+3)^2}}$
$y = \dfrac{(t^2+9)(t^2+1)(t^4+2t^3+2t^2-6t+9)(t^4-2t^3+2t^2+6t+9)}{{16t^2}(t^4-9)(t^2+2t+3)(t^2-2t+3)}$
Таких решений с $l = \dfrac{t^2-3}{2t}$ бесконечное число.

[Volik]

Спасибо, классно! А я пытаюсь решить обратную задачу. При каких y есть не тривиальные решения $l,x$. Еще не понял, нашел ли подход.

[scwec]

В случае, если $y$ параметр, исходное уравнение в Вейерштрассовой форме можно записать как $w^2=u^3-2(y^4+1)u^2+(y^4-1)^2{u}$, где $u,w$ - рациональные функции от $l,x$.
Одно из 1-параметрических решений в этом случае:

l = (t^12+4*t^11-2*t^10-44*t^9+55*t^8+88*t^7-92*t^6-264*t^5+495*t^4+1188*t^3-162*t^2-972*t+729)/(t^12-4*t^11-2*t^10+44*t^9+55*t^8-88*t^7-92*t^6+264*t^5+495*t^4-1188*t^3-162*t^2+972*t+729)

x = (8*(t^2-3))*(t^4-2*t^2+9)*(t^2+3)^2*t/((t-1)*(t+3)*(t-3)*(t+1)*(t^4+2*t^3+2*t^2-6*t+9)*(t^4-2*t^3+2*t^2+6*t+9))

y = (t^2+3)/(2t)

[Volik]

Увы, это опять решение при частных значениях $y = (t^2+3)/(2t)$.

[scwec]

Ещё 1-параметрическде решение для случая с параметром $x$
Здесь есть сильное отличие от двух предыдущих вариантов.
Вейерштрассова форма исходного уравнения в этом случае $w^2=u^3-(2x(x^2+1))^2{u}$, где $u,w$ рациональные функции от $l,y$
1-параметрическое решение исходного уравнения:
$x=\dfrac{2a}{a^2-1}, y=\dfrac{4a(a^2+1)}{a^4-6a^2+1}, l=\dfrac{5a^4-2a^2+1}{a(a^4-2a^2+5)}$
И похоже, что выражение для $x$ здесь другим быть не может. В подробности не вдаюсь.
Заодно ещё решение для первого варианта

l=(t^2+9)/(8t)$  
x=(t^12-42*t^10+63*t^8+9396*t^6+5103*t^4-275562*t^2+531441)/(16384*t^6),
y=(t^18-65*t^16+724*t^14+9276*t^12-29106*t^10+261954*t^8-6762204*t^6-42751476*t^4+310892985*t^2-387420489)/(2097152*t^9)

Но должен сказать, что нахождение предъявленных 1-параметрических решений дело не очень простое.
По этому поводу рекомендую статью Allan J. MacLeod "On a problem of John Leech" 2005 г.

[Volik]

И еще спасибо. Если бы $x=\frac{2 a}{a^2-1}$ действительно было бы единственным представлением при любой параметризации, это было бы решением задачи. Если же только для параметризации одним параметром, то этого не достаточно.

[scwec]

Приведу пример уравнения, похожего на рассмотренное выше. но имеющего, в отличие от него, нетривиальные рациональные решения
$x=x(l), y=y(l)$
Уравнение $\dfrac{2l}{l^2-1}=\dfrac{x^2+y^2}{y(y^2-1)}$
его решения
$x = \dfrac{8l^3}{(l^2+1)^3}$
$y = -\dfrac{2l(l^2-1)}{(l^2+1)^2}$
и т.д. после сложения точек на соответствующей эллиптической кривой.

[Volik]

Я уж подумал что это мое уравнение так классно решено! Книгу я врядли осилю. Может подскажете, как Вы получаете компактные преобразования Вейерштрасса? Для исходного уравнения мне Мапле выдала
x_0^3+(-1/3 l^8-14/3 l^4-1/3) x_0+2/27+2/27 l^12-22/9 l^8-22/9 l^4+y_0^2$,
а у Вас намного симпатичнее. Ни Гугл, ни ИИ не помогли!

[scwec]

По поводу Вейерштрассовой формы. В данном случае это делается в Maple.
Посде замены $x_0$ на $-x_0$ то, что первоначально выдал Maple записывается как $y_0^2=x_0^3+...$
Правая часть уравнения разлагается на множители (factor). одна из скобок объявляется новой переменной (вместо $x_0$) с коэффициентом
так, чтобы потом получилось уравнение с целыми коэффициентами (здесь прменяется solve). Вот и вся наука. Пробуйте.
Но исходное уравнение не имеет тех желаемых Вами решений. Нахождение параметрических решений - уже удача.

[Volik]

Опять огромное спасибо! Разложение на множители (при $y=0$) я получал, но до такой подстановки не допер!
И только сейчас заметил, что исходная форма Вейерштрасса соответствует характеристике поля 0 (рациональные числа), а после этой подстановки, 3 (за счет слагаемого $2 (l^4+1) u^2$). Как такое может быть? И что это значит?

[scwec]

То, что Вы называете "соответствует характеристике поля 3" относится к эллиптическим кривым, допускающим специальную замену коэффициентов.
Первая кривая $y^2=x^3+ax^2+bx\qquad(1)$, затем $y^2=x^3-2ax^2+(4a^2-b^2)x\qquad(2)$ и завершающая $y^2=x^3+4ax^2+16bx\qquad(3)$
Группы рациональных точек кривых $(1),(3)$ изоморфны. Между группами $(1),(2)$ существует гомоморфизм, который просто записывается.
Кстати, это обстоятельство мной использовалось для нахождения параметрических решений.
Подробно и просто у Силвермана и Тейта в книге "Rational points on elliptic curves" в разделе 4. A Useful Homomorphism стр.76 и далее.

[Volik]

Спасибо за терпение. Уже сам понял глупость вопроса. Каноническая форма есть каноническая, но ничто не мешает ее "подпортить" для своего удобства!