Даны массы двух материальных точек
![$m_1, m_2$ $m_1, m_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/e/90e68ebbb6df0c9f827f461ddc69e17082.png)
, движущихся навстречу друг другу со скоростями
![$v_1, v_2$ $v_1, v_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/7/1776f80267c1f785d8d1d0a7798d7bf982.png)
, соответственно. В точке встречи происходит абсолютно упругий удар. Задача: найти направление и модуль скорости каждой материальной точки после удара.
Направим ось координат по вектору
![$\vec v_1$ $\vec v_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/b/d0b2f3c73a21871a362975d8bca55da282.png)
. Напрашивается система из двух уравнений: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Однако, чтобы перейти от вектора импульса к проекции на ось, нужно как раз знать направления скоростей после удара. Логически есть два варианта:
1) после столкновения оба тела изменят направление движения на противоположное. Тогда закон сохранения импульса в проекциях запишется как
![$m_1v_1 - m_2v_2 = m_2v_2' - m_1v_1'$ $m_1v_1 - m_2v_2 = m_2v_2' - m_1v_1'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/3/ac3cdeae464d9d9f9791e60582b484f482.png)
2) после столкновения одно тело (пусть первое) сохранит направление движения, а другое изменит направление движения на противоположное, т.е. после столкновения тела будут двигаться в одном направлении. Тогда закон сохранения импульса в проекциях запишется как
![$m_1v_1 - m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$ $m_1v_1 - m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/c/a5cffa4b4144a8e10a1f76a7db3ac11b82.png)
Рассмотрим крайние случаи. Если импульсы тел до столкновения равны по модулю (
![$p_1 = p_2$ $p_1 = p_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/4/bb471d40850c9fe16139ef42c89129b582.png)
), то реализуется, очевидно, вариант (1). Полный импульс системы был нулевым до столкновения и должен остаться таким же после. Если импульс первого тела по модулю много больше импульса второго тела (
![$p_1 \gg p_2$ $p_1 \gg p_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/5/0b547827aa61f62dd57642cdaabe684f82.png)
), то реализуется вариант (2). Первое тело после удара продолжит движение в том же направлении, пусть и с меньшей скоростью, а второе отскочит. Если в катящийся железнодорожный вагон врежется футбольный мяч, то вагон не попятится.
Вопрос: как различить эти варианты в общем случае? В каком направлении будет двигаться каждое тело после удара, если
![$p_1 = 2 p_2$ $p_1 = 2 p_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/4/9c4c83b08d5d5af54e2d80bee63eae8e82.png)
? Если
![$p_1 = 1{,}0001 p_2$ $p_1 = 1{,}0001 p_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/e/3becc32fa6564c269c7d4950db3b759e82.png)
?
Все, что я придумал: записываем каждое из уравнений (1) и (2) в систему с законом сохранения энергии и смотрим, какая из двух систем имеет решение. Но это громоздко и неудобно. Наверняка есть более разумный метод.