Скорость после абсолютно упругого удара

[StudentV]

Даны массы двух материальных точек $m_1, m_2$, движущихся навстречу друг другу со скоростями $v_1, v_2$, соответственно. В точке встречи происходит абсолютно упругий удар. Задача: найти направление и модуль скорости каждой материальной точки после удара.

Направим ось координат по вектору $\vec v_1$. Напрашивается система из двух уравнений: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Однако, чтобы перейти от вектора импульса к проекции на ось, нужно как раз знать направления скоростей после удара. Логически есть два варианта:
1) после столкновения оба тела изменят направление движения на противоположное. Тогда закон сохранения импульса в проекциях запишется как $m_1v_1 - m_2v_2 = m_2v_2' - m_1v_1'$
2) после столкновения одно тело (пусть первое) сохранит направление движения, а другое изменит направление движения на противоположное, т.е. после столкновения тела будут двигаться в одном направлении. Тогда закон сохранения импульса в проекциях запишется как $m_1v_1 - m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$

Рассмотрим крайние случаи. Если импульсы тел до столкновения равны по модулю ($p_1 = p_2$), то реализуется, очевидно, вариант (1). Полный импульс системы был нулевым до столкновения и должен остаться таким же после. Если импульс первого тела по модулю много больше импульса второго тела ($p_1 \gg p_2$), то реализуется вариант (2). Первое тело после удара продолжит движение в том же направлении, пусть и с меньшей скоростью, а второе отскочит. Если в катящийся железнодорожный вагон врежется футбольный мяч, то вагон не попятится.

Вопрос: как различить эти варианты в общем случае? В каком направлении будет двигаться каждое тело после удара, если $p_1 = 2 p_2$? Если $p_1 = 1{,}0001 p_2$?

Все, что я придумал: записываем каждое из уравнений (1) и (2) в систему с законом сохранения энергии и смотрим, какая из двух систем имеет решение. Но это громоздко и неудобно. Наверняка есть более разумный метод.

[sergey zhukov]

StudentV
Вот так делается. Мы выбираем ось, рисуем (в произвольном направлении) стрелки скоростей тел в проекциях на ось после удара, и записываем два уравнения сохранения импульса и энергии. Причем все равно, куда мы нарисовали стрелки скоростей после удара. Если мы нарисовали их "неправильно", ответ просто будет отрицательным.

Пограничный случай при встречном ударе - это когда первое тело после удара остановится, а второе тело отскочит от него, как от стенки. Для этого первое тело должно иметь двойной импульс в сравнении со вторым (поскольку второе тело должно изменить свой импульс с $P$ на $-P$, т.е. в сумме на $2P$).

[wrest]

StudentV
Ваш вопрос немного похож на такой: как узнать разность ростов двух человек без запарок, ведь вычесть можно только меньшее из большего ну или равные на крайний случай... Ответ простой: люди придумали противоестественные природе, но полезные для вычислений отрицательные числа, и теперь можно вычитать большее из меньшего!

[StudentV]

Другими словами, нужно не спешить переходить от проекций скоростей к модулям. Записываем уравнение $m_1 v_1 - m_2 v_2 = m_1v_{1x}' + m_2v_{2x}'$ в систему с законом сохранения энергии и находим корни $v_{1x}', v_{2x}'$. Знаки проекций укажут направления векторов.
Действительно, я задал идиотский вопрос. Спасибо всем ответившим.

[miflin]

StudentV
Посмотрите здесь.
О знаках скоростей $U_1,U_2$ судите после решения, а не до.
Уже вдогонку. Зря набирал, что ли...

[sergey zhukov]

StudentV
Тут все формально делается. Скажем, при решении задач для электрических контуров одно из условий - сумма токов в каждом узле должна быть равна нулю (сколько втекло - столько вытекло). Но откуда нам знать, куда текут токи по тем или иным проводам в этих контурах? Мы же это, в общем, и хотим выяснить. Нет проблем, просто рисуем направления токов во всех узлах как попало. Например, можем нарисовать так, что все токи втекают в узел. Или что все вытекают. Главное потом придерживаться этих выбранных направлений везде в расчетах. Тогда все "неправильно" выбранные направления токов окажутся отрицательными.

[EUgeneUS]

StudentV
Вам уже всё подробно ответили, но добавлю свои пять копеек.

StudentV в сообщении #1644517 писал(а):

Однако, чтобы перейти от вектора импульса к проекции на ось, нужно как раз знать направления скоростей после удара....

Не нужно. Более того - вредно.
Проекция вектора на ось - это действительное число, положительное, ноль или отрицательное.
Вы же по какой-то причине считаете, что проекция - это неотрицательное число.
Вот с этой причиной и нужно разобраться