2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Есть ли изящный способ решения?
Сообщение26.06.2024, 19:39 


04/03/14
202
Есть ли какой-то алгебраический способ способ решения не в лоб? Чем-то напоминает квадрат площади четырехугольника, в который можно вписать окружность. Но хочется именно алгебраический подход найти, желательно без синусов и косинусов.

Дано: $ a + b + c + d = 2p $.

Нужно доказать равенство: $ 4(cd + ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) $

У меня есть версия просто раскрыть все скобки и проверить -- но это скучно и долго. Можно раскладывать левую часть как разность квадратов, а внутри тоже организовывать формулы сокращенного умножения пытаться для левой части и разложить на множители. Но может есть способ красивый поинтереснее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли изящный способ решения?
Сообщение26.06.2024, 20:04 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Слева разность квадратов разложите на множители.
Потом каждый множитель тоже разложите на два множителя (там тоже разность квадратов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли изящный способ решения?
Сообщение26.06.2024, 23:10 


04/03/14
202
zykov в сообщении #1644225 писал(а):

Слева разность квадратов разложите на множители.
Потом каждый множитель тоже разложите на два множителя (там тоже разность квадратов).

Спасибо=) Я как раз этот способ в старпосте и описал. Но может есть вариант какой-то поинтереснее, где меньше нужно возиться, например с какой-то удобной заменой, симметрия или еще какие-то хорошие идеи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли изящный способ решения?
Сообщение26.06.2024, 23:13 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Конечно, можно выразить обе части через $a + b, ab, c + d, cd$, а потом уже как-то проверять равенство, но так вычислений будет не меньше хотя бы потому что в правой части придётся сначала перемножить 2 пары скобок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли изящный способ решения?
Сообщение27.06.2024, 00:20 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Don-Don в сообщении #1644234 писал(а):
Но может есть вариант какой-то поинтереснее
Куда уж интереснее (если в рамках алгебры)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли изящный способ решения?
Сообщение27.06.2024, 11:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Ничего иного не приходит, как переписать правую часть в виде $(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли изящный способ решения?
Сообщение27.06.2024, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Евгений Машеров в сообщении #1644268 писал(а):
Ничего иного не приходит, как переписать правую часть в виде $(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)$
А левую часть переписать в виде $[(c+d)^2 -(a-b)^2][(a+b)^2 -(c-d)^2]$
И всё становится очевидным. Чистое, непревзойдённое изящество! :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли изящный способ решения?
Сообщение27.06.2024, 14:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Даа... Сэ трэ элежанс!

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли изящный способ решения?
Сообщение27.06.2024, 14:23 


18/05/15
729
Евгений Машеров в сообщении #1644268 писал(а):
Ничего иного не приходит, как переписать правую часть в виде $(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)$

Если еще представить в виде $$\prod_{k=1}^4(S-2a_k),$$ где $S=a_1+a_2+a_3+a_4$, то вполне нормально получается. Или так $$\prod_{k=1}^4(S-2a_k) = AB,$$ где $A = (S-2a_1)(S-2a_2)$, a $B = (S-2a_3)(S-2a_4)$. Мгновенно находится, что $A = R+4a_1a_2$, а $B = -R + 4a_3a_4$ и, значит, $$AB = 4(a_1a_2+a_3a_4)^2 - (R+2(a_1a_2-a_3a_4))^2$$

-- 27.06.2024, 15:25 --

Пардон, $R = (a_3+a_4)^2 - (a_1+a_2)^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group