Есть ли изящный способ решения?

[Don-Don]

Есть ли какой-то алгебраический способ способ решения не в лоб? Чем-то напоминает квадрат площади четырехугольника, в который можно вписать окружность. Но хочется именно алгебраический подход найти, желательно без синусов и косинусов.

Дано: $ a + b + c + d = 2p $.

Нужно доказать равенство: $ 4(cd + ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) $

У меня есть версия просто раскрыть все скобки и проверить -- но это скучно и долго. Можно раскладывать левую часть как разность квадратов, а внутри тоже организовывать формулы сокращенного умножения пытаться для левой части и разложить на множители. Но может есть способ красивый поинтереснее?

[zykov]

Слева разность квадратов разложите на множители.
Потом каждый множитель тоже разложите на два множителя (там тоже разность квадратов).

[Don-Don]

zykov в сообщении #1644225 писал(а):

Слева разность квадратов разложите на множители.
Потом каждый множитель тоже разложите на два множителя (там тоже разность квадратов).

Спасибо=) Я как раз этот способ в старпосте и описал. Но может есть вариант какой-то поинтереснее, где меньше нужно возиться, например с какой-то удобной заменой, симметрия или еще какие-то хорошие идеи.

[dgwuqtj]

Конечно, можно выразить обе части через $a + b, ab, c + d, cd$, а потом уже как-то проверять равенство, но так вычислений будет не меньше хотя бы потому что в правой части придётся сначала перемножить 2 пары скобок.

[zykov]

Don-Don в сообщении #1644234 писал(а):

Но может есть вариант какой-то поинтереснее

Куда уж интереснее (если в рамках алгебры)?

[Евгений Машеров]

Ничего иного не приходит, как переписать правую часть в виде $(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)$

[TOTAL]

Евгений Машеров в сообщении #1644268 писал(а):

Ничего иного не приходит, как переписать правую часть в виде $(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)$

А левую часть переписать в виде $[(c+d)^2 -(a-b)^2][(a+b)^2 -(c-d)^2]$
И всё становится очевидным. Чистое, непревзойдённое изящество!

[Евгений Машеров]

Даа... Сэ трэ элежанс!

[ihq.pl]

Евгений Машеров в сообщении #1644268 писал(а):

Ничего иного не приходит, как переписать правую часть в виде $(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)$

Если еще представить в виде

$$\prod_{k=1}^4(S-2a_k),$$

где $S=a_1+a_2+a_3+a_4$, то вполне нормально получается. Или так

$$\prod_{k=1}^4(S-2a_k) = AB,$$

где $A = (S-2a_1)(S-2a_2)$, a $B = (S-2a_3)(S-2a_4)$. Мгновенно находится, что $A = R+4a_1a_2$, а $B = -R + 4a_3a_4$ и, значит,

$$AB = 4(a_1a_2+a_3a_4)^2 - (R+2(a_1a_2-a_3a_4))^2$$

-- 27.06.2024, 15:25 --

Пардон, $R = (a_3+a_4)^2 - (a_1+a_2)^2$