Неравенство с модулями

[Gecko]

Нужно доказать неравенство

$$ \left\lvert x - y \right\rvert \geqslant \left\lvert \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert \right\rvert . $$

Решение (из учебника):
Применяя к сумме $(x - y) + y$ неравенство треугольника, приходим к неравенству

$$\left\lvert x \right\rvert = \left\lvert(x - y) + y\right\rvert \leqslant \left\lvert x - y \right\rvert + \left\lvert y \right\rvert , $$

из которого получаем

$$ \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert \leqslant \left\lvert x - y \right\rvert . \eqno(1) $$

Меняя местами $ x $ и $ y $, находим

$$ \left\lvert y \right\rvert - \left\lvert x \right\rvert \leqslant \left\lvert y - x \right\rvert = \left\lvert x - y \right\rvert . $$

Отсюда

$$ - \left\lvert x - y \right\rvert \leqslant \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert . \eqno(2) $$

Из неравенств (1) и (2) следует доказываемое неравенство.

Вопрос в том, каким образом из (1) и (2) следует доказываемое неравенство. Не могу понять.

[dgwuqtj]

Как известно, неравенство $a \geq |b|$ равносильно тому, что $a \geq b$ и $a \geq -b$ (а неравенство $a \leq |b|$ — тому, что $a \leq b$ или $a \leq -b$).

[Gecko]

Вот оно как. Понятно. Спасибо!