2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство с модулями
Сообщение25.06.2024, 22:12 
Аватара пользователя


29/08/19
48
Нужно доказать неравенство
$$ \left\lvert x - y \right\rvert \geqslant \left\lvert \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert \right\rvert . $$
Решение (из учебника):
Применяя к сумме $(x - y) + y$ неравенство треугольника, приходим к неравенству
$$\left\lvert x \right\rvert = \left\lvert(x - y) + y\right\rvert \leqslant \left\lvert x - y \right\rvert + \left\lvert y \right\rvert , $$
из которого получаем
$$ \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert \leqslant \left\lvert x - y \right\rvert . \eqno(1) $$
Меняя местами $ x $ и $ y $, находим
$$ \left\lvert y \right\rvert - \left\lvert x \right\rvert \leqslant \left\lvert y - x \right\rvert =  \left\lvert x - y \right\rvert . $$
Отсюда
$$ - \left\lvert x - y \right\rvert  \leqslant  \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert . \eqno(2) $$
Из неравенств (1) и (2) следует доказываемое неравенство.

Вопрос в том, каким образом из (1) и (2) следует доказываемое неравенство. Не могу понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с модулями
Сообщение25.06.2024, 22:16 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Как известно, неравенство $a \geq |b|$ равносильно тому, что $a \geq b$ и $a \geq -b$ (а неравенство $a \leq |b|$ — тому, что $a \leq b$ или $a \leq -b$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с модулями
Сообщение26.06.2024, 10:37 
Аватара пользователя


29/08/19
48
Вот оно как. Понятно. Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group