2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство с модулями
Сообщение25.06.2024, 22:12 
Аватара пользователя
Нужно доказать неравенство
$$ \left\lvert x - y \right\rvert \geqslant \left\lvert \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert \right\rvert . $$
Решение (из учебника):
Применяя к сумме $(x - y) + y$ неравенство треугольника, приходим к неравенству
$$\left\lvert x \right\rvert = \left\lvert(x - y) + y\right\rvert \leqslant \left\lvert x - y \right\rvert + \left\lvert y \right\rvert , $$
из которого получаем
$$ \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert \leqslant \left\lvert x - y \right\rvert . \eqno(1) $$
Меняя местами $ x $ и $ y $, находим
$$ \left\lvert y \right\rvert - \left\lvert x \right\rvert \leqslant \left\lvert y - x \right\rvert =  \left\lvert x - y \right\rvert . $$
Отсюда
$$ - \left\lvert x - y \right\rvert  \leqslant  \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert . \eqno(2) $$
Из неравенств (1) и (2) следует доказываемое неравенство.

Вопрос в том, каким образом из (1) и (2) следует доказываемое неравенство. Не могу понять.

 
 
 
 Re: Неравенство с модулями
Сообщение25.06.2024, 22:16 
Как известно, неравенство $a \geq |b|$ равносильно тому, что $a \geq b$ и $a \geq -b$ (а неравенство $a \leq |b|$ — тому, что $a \leq b$ или $a \leq -b$).

 
 
 
 Re: Неравенство с модулями
Сообщение26.06.2024, 10:37 
Аватара пользователя
Вот оно как. Понятно. Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group