Множество правильных рациональных дробей: точные грани

[Gecko]

В справочном пособии по высшей математике И.И. Ляшко и др. (Том 1) нашел разбор задачи о правильных рациональных дробях.
Условие. Показать, что множество всех правильных рациональных дробей $m/n$, где $m$ и $n$ - натуральные числа и $0<m<n$, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани этого множества.
Решение. Пусть $m$ и $n$ $(0<m<n)$ - любые натуральные числа. Тогда из очевидных неравенств

$\dfrac{m}{n}=\dfrac{2m}{2n}>\dfrac{2m-1}{2n}>0$, $\dfrac{m}{n}=\dfrac{2m}{2n}<\dfrac{2m+1}{2n}<1$

следует, что множество правильных рациональных дробей не имеет наименьшего и наибольшего элементов.

Покажем, что $ i n f \left\lbrace m/n \right\rbrace=0$, а $s u p\left\lbrace m/n \right\rbrace=1$.
Согласно теореме Архимеда, для произвольно заданных $\varepsilon>0$ и $m \in N $ найдется такое $n \in N $, $n>m$, что $n > m/\varepsilon$. Тогда $m/n < \varepsilon$ .
Отсюда и из неравенства $m/n > 0$ следует, что $ i n f \left\lbrace m/n \right\rbrace=0$.
Аналогично для произвольно заданных $\varepsilon>0$ и $p \in N $ найдется такое натуральное число $m$, что

$$ m > \dfrac{p(1 - \varepsilon)}{\varepsilon} \eqno( 1 ) $$

Отсюда

$$ \dfrac{m}{p+m} > 1 -\varepsilon \eqno( 2 ) $$

т.е. при $n = p + m$ имеем $m/n > 1 - \varepsilon$, а это вместе с неравенством $m/n < 1$ означает, что $s u p\left\lbrace m/n \right\rbrace=1$.

Есть вопросы.
1. Зачем так усложнять получение двух неравенств при доказательстве отсутствия наименьшего и наибольшего элементов?
Есть же условие $0<m<n$. Его можно поделить на натуральное $n$ и получить $0<m/n<1$.
2. Запишем формулировку теоремы Архимеда в формулировке: если $a > 0$ и $b$ - произвольное действительное число, то существует такое $n \in Z$, что $(n-1) a \leqslant b$, $n a > b$ (3).
Я правильно понимаю, что неравенство (1) получено путем подстановки в неравенство (3) символа $m$ вместо $n$, $p$ вместо $b$ и выражения $\dfrac{\varepsilon}{1 - \varepsilon}$ вместо $a$?
3. Каким образом из неравенства (1) следует (2)?

[TOTAL]

Gecko в сообщении #1644029 писал(а):

Зачем так усложнять

Незачем.
$1/n < \varepsilon$, поэтому $(n-1)/n > 1 - \varepsilon$

[Gecko]

TOTAL в сообщении #1644030 писал(а):

Незачем.
$1/n < \varepsilon$, поэтому $(n-1)/n > 1 - \varepsilon$

Не могу постичь, каким образом это можно применить, чтобы получить ответы на мои вопросы

[TOTAL]

Gecko в сообщении #1644033 писал(а):

Не могу постичь, каким образом это можно применить, чтобы получить ответы на мои вопросы

Примените это для нахождения граней.

[svv]

Gecko в сообщении #1644029 писал(а):

1. Зачем так усложнять получение двух неравенств при доказательстве отсутствия наименьшего и наибольшего элементов?
Есть же условие $0<m<n$. Его можно поделить на натуральное $n$ и получить $0<m/n<1$.

Когда автор пишет
$\dfrac{m}{n}=\dfrac{2m}{2n}<\dfrac{2m+1}{2n}<1$,
целью не является получение неравенства $\frac m n<1$. Цель — показать, что для всякого элемента $\frac m n$ того множества найдётся больший элемент $\frac{2m+1}{2n}$. Эта дробь тоже элемент множества, потому что числитель и знаменатель натуральные числа, причём числитель меньше знаменателя:
$m<n\Rightarrow 2m+1<2n$
Последний факт автор выражает неравенством
$\dfrac{2m+1}{2n}<1$

[Gecko]

Понятно. Спасибо!