2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Множество правильных рациональных дробей: точные грани
Сообщение25.06.2024, 12:57 
Аватара пользователя


29/08/19
48
В справочном пособии по высшей математике И.И. Ляшко и др. (Том 1) нашел разбор задачи о правильных рациональных дробях.
Условие. Показать, что множество всех правильных рациональных дробей $m/n$, где $m$ и $n$ - натуральные числа и $0<m<n$, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани этого множества.
Решение. Пусть $m$ и $n$ $(0<m<n)$ - любые натуральные числа. Тогда из очевидных неравенств

$\dfrac{m}{n}=\dfrac{2m}{2n}>\dfrac{2m-1}{2n}>0$, $\dfrac{m}{n}=\dfrac{2m}{2n}<\dfrac{2m+1}{2n}<1$

следует, что множество правильных рациональных дробей не имеет наименьшего и наибольшего элементов.

Покажем, что $ i n f \left\lbrace m/n \right\rbrace=0$, а $s u p\left\lbrace m/n \right\rbrace=1$.
Согласно теореме Архимеда, для произвольно заданных $\varepsilon>0$ и $m \in N $ найдется такое $n \in N $, $n>m$, что $n > m/\varepsilon$. Тогда $m/n < \varepsilon$ .
Отсюда и из неравенства $m/n > 0$ следует, что $ i n f \left\lbrace m/n \right\rbrace=0$.
Аналогично для произвольно заданных $\varepsilon>0$ и $p \in N $ найдется такое натуральное число $m$, что
$$ m > \dfrac{p(1 - \varepsilon)}{\varepsilon} \eqno( 1 ) $$
Отсюда
$$ \dfrac{m}{p+m} > 1 -\varepsilon \eqno( 2 )   $$
т.е. при $n = p + m$ имеем $m/n > 1 - \varepsilon$, а это вместе с неравенством $m/n < 1$ означает, что $s u p\left\lbrace m/n \right\rbrace=1$.

Есть вопросы.
1. Зачем так усложнять получение двух неравенств при доказательстве отсутствия наименьшего и наибольшего элементов?
Есть же условие $0<m<n$. Его можно поделить на натуральное $n$ и получить $0<m/n<1$.
2. Запишем формулировку теоремы Архимеда в формулировке: если $a > 0$ и $b$ - произвольное действительное число, то существует такое $n \in Z$, что $(n-1) a \leqslant b$, $n a > b$ (3).
Я правильно понимаю, что неравенство (1) получено путем подстановки в неравенство (3) символа $m$ вместо $n$, $p$ вместо $b$ и выражения $\dfrac{\varepsilon}{1 - \varepsilon}$ вместо $a$?
3. Каким образом из неравенства (1) следует (2)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество правильных рациональных дробей: точные грани
Сообщение25.06.2024, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Gecko в сообщении #1644029 писал(а):
Зачем так усложнять
Незачем.
$1/n < \varepsilon$, поэтому $(n-1)/n > 1 - \varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество правильных рациональных дробей: точные грани
Сообщение25.06.2024, 13:47 
Аватара пользователя


29/08/19
48
TOTAL в сообщении #1644030 писал(а):
Незачем.
$1/n < \varepsilon$, поэтому $(n-1)/n > 1 - \varepsilon$

Не могу постичь, каким образом это можно применить, чтобы получить ответы на мои вопросы :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество правильных рациональных дробей: точные грани
Сообщение25.06.2024, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Gecko в сообщении #1644033 писал(а):
Не могу постичь, каким образом это можно применить, чтобы получить ответы на мои вопросы :wink:
Примените это для нахождения граней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество правильных рациональных дробей: точные грани
Сообщение26.06.2024, 05:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Gecko в сообщении #1644029 писал(а):
1. Зачем так усложнять получение двух неравенств при доказательстве отсутствия наименьшего и наибольшего элементов?
Есть же условие $0<m<n$. Его можно поделить на натуральное $n$ и получить $0<m/n<1$.
Когда автор пишет
$\dfrac{m}{n}=\dfrac{2m}{2n}<\dfrac{2m+1}{2n}<1$,
целью не является получение неравенства $\frac m n<1$. Цель — показать, что для всякого элемента $\frac m n$ того множества найдётся больший элемент $\frac{2m+1}{2n}$. Эта дробь тоже элемент множества, потому что числитель и знаменатель натуральные числа, причём числитель меньше знаменателя:
$m<n\Rightarrow 2m+1<2n$
Последний факт автор выражает неравенством
$\dfrac{2m+1}{2n}<1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество правильных рациональных дробей: точные грани
Сообщение26.06.2024, 10:37 
Аватара пользователя


29/08/19
48
Понятно. Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group