В справочном пособии по высшей математике И.И. Ляшко и др. (Том 1) нашел разбор задачи о правильных рациональных дробях.
Условие. Показать, что множество всех правильных рациональных дробей
, где
и
- натуральные числа и
, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани этого множества.
Решение. Пусть
и
- любые натуральные числа. Тогда из очевидных неравенств
,
следует, что множество правильных рациональных дробей не имеет наименьшего и наибольшего элементов.
Покажем, что
, а
.
Согласно теореме Архимеда, для произвольно заданных
и
найдется такое
,
, что
. Тогда
.
Отсюда и из неравенства
следует, что
.
Аналогично для произвольно заданных
и
найдется такое натуральное число
, что
Отсюда
т.е. при
имеем
, а это вместе с неравенством
означает, что
.
Есть
вопросы.
1. Зачем так усложнять получение двух неравенств при доказательстве отсутствия наименьшего и наибольшего элементов?
Есть же условие
. Его можно поделить на натуральное
и получить
.
2. Запишем формулировку теоремы Архимеда в формулировке: если
и
- произвольное действительное число, то существует такое
, что
,
(3).
Я правильно понимаю, что неравенство (1) получено путем подстановки в неравенство (3) символа
вместо
,
вместо
и выражения
вместо
?
3. Каким образом из неравенства (1) следует (2)?