Допустим, что существует последовательность чисел, неделящихся на
![$7$ $7$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/a/b7afe912ac7ed280f96e7cfb0f35a02782.png)
, и не одни единички, удовлетворяющая условию. И пусть
![$a>1$ $a>1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/e/73eb6879fd26696fa6f3df5b2ee7346882.png)
-
наименьшее число, встречающееся бесконечно много раз. Тогда в прогрессии
![$a+7k$ $a+7k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/c/66c3837b5a7a5890992a2c9a2916115682.png)
, между
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$a^3$ $a^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/9/9190d54c0672c4b3511dab0071674c5182.png)
не должно быть кубов. (Иначе получися число, меньше
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
, больше
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
, неделящееся на
![$7$ $7$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/a/b7afe912ac7ed280f96e7cfb0f35a02782.png)
, которое будет встречатся бесконечно много раз, что противоречит минимальности
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
).
Если
![$a \equiv 1 \pmod 7$ $a \equiv 1 \pmod 7$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/4/43416dcf31c5a5968d3400d7ac13a43682.png)
, то в этой прогрессии будет число
![$(a-4)^3$ $(a-4)^3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/b/4fb95562346830239c9f5edd66fe67de82.png)
. А значит должно выполнятся
![$a>(a-4)^3$ $a>(a-4)^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/3/37350431599d7b3923c9dfaf9a19464082.png)
, или
![$a<6$ $a<6$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/4/c24da6198524cb20de1770e3ccb9834b82.png)
. Но среди них нет чисел
![$1 \pmod 7$ $1 \pmod 7$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/4/8e417f19fa9ed1a5787eb335371299fc82.png)
Если же
![$a \equiv -1 \pmod 7$ $a \equiv -1 \pmod 7$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/8/a981247a54dd6865bb527a35ffa20a3682.png)
, то в прогресии будет число
![$(a-1)^3$ $(a-1)^3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/a/8dac69ff123b1e5cdc9b2b72dd2d987982.png)
...
Противоречие.