Легкая последовательность

[Deathrose]

Последовательность натуральных чисел $a_n, n\geqslant 0$ задана так: $a_{n+1}=\sqrt[3]{a_{n}}$, если это число натуральное, в противном случае $ a_{n+1} = a_n+7 $. При каких $a_0$ эта последовательность имеет бесконечно много равных членов?

[maxal]

При $a_0\equiv 0, \pm1\pmod7$ (т.е. кубы по модулю 7). При других значениях куба никогда не возникнет, и получится попросту арифметическая последовательсть с разность 7.

[vpb]

При $a_0\equiv0\pmod7$ да, но при $a_0\equiv\pm1\pmod7$ все же нет, вероятно. При $a_0=1$ получаем $1,8,2,9,16,\ldots$ (И на солнце бывают пятна...).

[Deathrose]

vpb в сообщении #1643830 писал(а):

При $a_0\equiv0\pmod7$ да, но при $a_0\equiv\pm1\pmod7$ все же нет, вероятно. При $a_0=1$ получаем $1,8,2,9,16,\ldots$ (И на солнце бывают пятна...).

Не совсем так, при $a_0=1$ получаем $1,1,1,...$, и все нормально, но при $a_0=6$ не будет требуемого: $6,13,20,27,3,10,...$.
Извините, не сразу понял, что Вы имели в виду: да, если с восьмёрки начать, то да, будет как Вы написали.
Ответ во втором посте не верный.

[vpb]

(Оффтоп)

Блин, я тоже с единицей облажался проявил невнимательность... Какой-то в этой теме парад мелких ляпов.

[wrest]

Получается, подходят $a_0=1$ или $a_0=7k, k \in \mathbb{N}$ (или $k \in \mathbb{N}_0$, в зависимости от того какие натуральные $a_0$ имеются в виду -- с нулём или без)

[Deathrose]

vpb в сообщении #1643843 писал(а):

(Оффтоп)

Блин, я тоже с единицей облажался проявил невнимательность... Какой-то в этой теме парад мелких ляпов.

(Оффтоп)

Позволю себе немного не согласиться - "ляп" во втором сообщениине такой уж и мелкий. Вся суть задачи состоит в том, чтобы отсечь случаи $a_0\equiv 1,-1 \mod 7$. И, как следствие, последовательность либо становится прогрессией, либо, в случае делимости на 7, становится циклом $7\to\ldots \to 343$.

[maxal]

Да, проблема в том, что извлечение кубического корня может выкидывать числа из кубических вычетов по модулю 7.

[gris]

Интересно, а какое строго конечное количество кубов может содержать последовательность? Я так понял, что сколько угодно. Путём перебора начального члена от 1 до Е1000 мне удалось найти много последовательностей ровно с семью кубами.

[Shadow]

Допустим, что существует последовательность чисел, неделящихся на $7$, и не одни единички, удовлетворяющая условию. И пусть $a>1$ - наименьшее число, встречающееся бесконечно много раз. Тогда в прогрессии $a+7k$, между $a$ и $a^3$ не должно быть кубов. (Иначе получися число, меньше $a$, больше $1$, неделящееся на $7$, которое будет встречатся бесконечно много раз, что противоречит минимальности $a$).

Если $a \equiv 1 \pmod 7$, то в этой прогрессии будет число $(a-4)^3$. А значит должно выполнятся $a>(a-4)^3$, или $a<6$. Но среди них нет чисел $1 \pmod 7$

Если же $a \equiv -1 \pmod 7$, то в прогресии будет число $(a-1)^3$...

Противоречие.

[Deathrose]

Shadow
Великолепно!