Допустим, что существует последовательность чисел, неделящихся на

, и не одни единички, удовлетворяющая условию. И пусть

-
наименьшее число, встречающееся бесконечно много раз. Тогда в прогрессии

, между

и

не должно быть кубов. (Иначе получися число, меньше

, больше

, неделящееся на

, которое будет встречатся бесконечно много раз, что противоречит минимальности

).
Если

, то в этой прогрессии будет число

. А значит должно выполнятся

, или

. Но среди них нет чисел

Если же

, то в прогресии будет число

...
Противоречие.