Линейно накомбинированный ортобазис

[Утундрий]

Однажды возникла передо мною следующая задача.

В некотором не менее чем трёхмерном евклидовом пространстве ${\mathbb E}^{\geqslant 3}$ заданы три вектора: $\mathbf a, \; \mathbf b$ и $\mathbf c$.

Также известно, что

$$\langle \mathbf a \vert \mathbf a \rangle = \langle \mathbf b \vert \mathbf b \rangle = \langle \mathbf c \vert \mathbf c \rangle = \alpha^2 >0$$

$$\langle \mathbf a \vert \mathbf b \rangle = \langle \mathbf a \vert \mathbf c \rangle = \langle \mathbf b \vert \mathbf c \rangle = \beta^2>0$$

Требуется построить из $\{ \mathbf a, \; \mathbf b, \; \mathbf c \}$ такие три линейные комбинации ${\mathbf e}_1, \; {\mathbf e}_2$ и ${\mathbf e}_3$, чтобы выполнялись условия

$$\langle {\mathbf e}_i \vert {\mathbf e}_j \rangle = \delta_{ij}$$

Я эту задачу тут же решил, не прибегая к стандартным методам и опираясь лишь на так называемую "наглядно-геометрическую интуицию". А потом призадумался, насколько очевидно это решение?

Попробуйте повторить, интересно, что выйдет.

(ОТВЕТ)

${\mathbf e}_1 \sim \mathbf a + \mathbf b + \mathbf c$
${\mathbf e}_2 \sim \mathbf a + \mathbf b - 2 \mathbf c$
${\mathbf e}_3 \sim \mathbf a - \mathbf b$

[ozheredov]

Если не ошибаюсь,

Утундрий в сообщении #1643800 писал(а):

$$\langle \mathbf a \vert \mathbf a \rangle = \langle \mathbf b \vert \mathbf b \rangle = \langle \mathbf c \vert \mathbf c \rangle = \alpha^2 >0$$

$$\langle \mathbf a \vert \mathbf b \rangle = \langle \mathbf a \vert \mathbf c \rangle = \langle \mathbf b \vert \mathbf c \rangle = \beta^2>0$$

- трёхгранная пирамида. Тогда $\frac{1}{3} (a+b+c)$ - её "средняя линия" (типа стержень, на котором она держится), а $a-b$ - одна из граней на земле. А вот как можно быстро построить третий базисный вектор, не знаю.

P.S. Упс, кажется, я нашел применение: пусть $a,b,c$ - направления на вершины RGB-куба с чисто красным, синим и зеленым цветом. Тогда $\frac{1}{3} (a+b+c)$ - яркость, $a-b$ - степень "теплоты" картинки.

[Утундрий]

ozheredov в сообщении #1643821 писал(а):

как можно быстро построить третий базисный вектор, не знаю.

В моей нумерации — второй. Он параллелен высоте равностороннего треугольника, лежащего в основании пирамиды.

Кстати, сама процедура легко обобщается на высшие размерности. Например, в случае четырёх векторов с указанными свойствами (при условии, что они существуют), попарно ортогональными будут такие линейные комбинации:

$$\begin{array}{l} \mathbf a + \mathbf b + \mathbf c + \mathbf d \\ \mathbf a + \mathbf b + \mathbf c - 3 \mathbf d \\ \mathbf a + \mathbf b - 2 \mathbf c \\ \mathbf a - \mathbf b \end{array} $$