Расчет интерференционного фильтра

[Rat]

Munin писал(а):

Вам в Путилине не попадалось указаний на то, как вычислить параметры непосредственно максимумов?

На стр. 170 http://ifolder.ru/9277459 есть, а на 177 - график, который мне надо получить.

[peregoudov]

Что-то мы совсем запутались, давайте распутываться. Я вчера все формулы посчитал, но поздно уже было, не набрал. Давайте с самого начала.

Пишем уравнения Максвелла (те, что с роторами), считая, что волна распространяется вдоль z, электрическое поле направлено по x, а магнитное --- по y. Используем материальные уравнения, чтобы исключить D и B и оставить E и H --- они непрерывны на границах. Уравнения получаются такие

$$ -\frac{\partial H_y}{\partial z}= \frac\varepsilon c\frac{\partial E_x}{\partial t},\quad \frac{\partial E_x}{\partial z}= -\frac\mu c\frac{\partial H_y}{\partial t}. $$

В дальнейшем считаем $\mu=1$, $\varepsilon=n^2$. Теперь ищем решение в виде $E,H\sim e^{-i\omega t}$, для амплитуды E можно получить уравнение осциллятора, его решение

$$ E_x=A\cos\frac{\omega n}cz+B\sin\frac{\omega n}cz. $$

Выражение для H

$$ H_y=-\frac{ic}\omega\frac{\partial E_x}{\partial z}= inA\sin\frac{\omega n}cz-inB\cos\frac{\omega n}cz. $$

Отсюда получается связь полей при z=0 с полями при произвольном z

$$ \left(\begin{matrix}E_x(z)\\H_y(z)\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}\cos\frac{\omega n}cz& \frac in\sin\frac{\omega n}cz\\ in\sin\frac{\omega n}cz&\cos\frac{\omega n}cz \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}E_x(0)\\H_y(0)\end{matrix}\right). $$

Это те матричные пропагаторы слоев, которые выписала Rat, они правильные. Поскольку используемые переменные непрерывны на границе, матричный пропагатор для стопки получается просто перемножением матричных пропагаторов слоев. Это у Rat тоже сделано правильно.

Остается понять, как вычислять коэффициенты отражения/прохождения, имея матричный пропагатор. Для этого нужно записать волны слева (падающую и отраженную)

$$ E_x=e^{i\omega z/c}+Re^{-i\omega z/c} $$

(выражение для H получается дифференцированием по приведенной выше формуле) и справа (прошедшая)

$$ E_x=Te^{i\omega z/c}. $$

Обозначая матричный пропагатор стопки через M, имеем уравнения

$$ \left(\begin{matrix}T\\T\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}m_{11}&m_{12}\\ m_{21}&m_{22}\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}1+R\\1-R\end{matrix}\right), $$

откуда и находим

$$ R=-\frac{m_{11}+m_{12}-(m_{21}+m_{22})} {m_{11}+m_{22}-(m_{12}+m_{21})},\quad T=\frac2{m_{11}+m_{22}-(m_{12}+m_{21})}. $$

P.S. Я посчитал численно на Maple, получается то же, что у Rat
http://dxdy.ru/post164112.html#164112

[Munin]

peregoudov
Я понял, откуда у вас минусы лезут. Вы матрицы записываете от падающего луча к прошедшему справа налево, а в Путилине ровно наоборот: от прошедшего к падающему справа налево, так что в конце получается уравнение $1+R=MT.$

Добавлено спустя 41 минуту 1 секунду:

Rat в сообщении #164096 писал(а):

$d_1=0.0046\lambda_0/0.05
$d_3=0.0046\lambda_0/0.05

Что если вместо этого взять
$d_1=0.0046\lambda_0/\mathop{\mathrm{abs}}(\tilde{n}_1) $
$d_3=0.0046\lambda_0/\mathop{\mathrm{abs}}(\tilde{n}_1) $
? Как изменится результат?

[Rat]

Munin писал(а):

Что если вместо этого взять
$d_1=0.0046\lambda_0/\mathop{\mathrm{abs}}(\tilde{n}_1) $
$d_3=0.0046\lambda_0/\mathop{\mathrm{abs}}(\tilde{n}_1) $
? Как изменится результат?

Получается вот такой график:

[AlexNew]

Rat у меня 2 вопроса:
1) на первой страничке у вас рисунок на котором свет падает под углом к поверхности?
2)вы считали только для одного цикла проховдения
(тоесть слева на право - произведение матриц:
Мi(воздух,пл1)Мp(пл1)Мi(пл1,пл2)Мp(пл2)Мi(пл2,пл3)Мp(пл3)Мi(пл3,подложка)
где:
Мi - матрица для интерфейса с коэффициентами Френеля
Мp - матрица пропогатор (с exp(-ikz))
пл - пленка

или пробывали считать для цикла отражений : лево-право-лево-право... ?

наверное на все вопросы есть ответы по тексту, но нет время искать.

[Rat]

AlexNew

1. Да, на первой страничке рисунок, на котором свет парает под углом к поверхности.

2. Матричный метод и предполагает, что количество матриц совпадает с количеством слоев

[AlexNew]

немного изменил свой предидуший пост...

Цитата:

. Да, на первой страничке рисунок, на котором свет парает под углом к поверхности.

дело в том что у вас задачка для прямого угла посчитана, если я не ошибаюсь?

Цитата:

2. Матричный метод и предполагает, что количество матриц совпадает с количеством слоев

не совсем так... если писать подробно то будет 7 матриц, если совместить интерфейс с пропогатором то будет 4

Проверте, тоже самое ли у вас, что записано у меня для финальной матрицы одного цикла?

если описывать то что у вас нарисовано то то необходимо дабавить второй цикл справа а потом возвести новую серию матриц в число отражений.

для прямого угла матрицы останутся прежними.

Учитывая что у вас фильтр, наверное нужно считать для серии циклов отражений, и после каждого прохождения складывать амплитуды (или квадраты анплитуд) прошедших волн

[Munin]

AlexNew в сообщении #164368 писал(а):

2)вы считали только для одного цикла проховдения

Матричный метод даёт согласованный результат для всех прохождений. Для того его и используют.

[Rat]

AlexNew

Я пыталась расчитать другой фильтр, в котором не учитавается поглощение. Считала без циклов. Графики сошлись.

[Munin]

Rat в сообщении #164378 писал(а):

Я пыталась расчитать другой фильтр, в котором не учитавается поглощение. Графики сошлись.

А вот это интересно. peregoudov выписывает матрицы из уравнений Максвелла, и подтверждает их справедливость, но берёт уравнения Максвелла без поглощения. Может быть, здесь что-то зарыто.

[peregoudov]

Munin в сообщении #164289 писал(а):

Я понял, откуда у вас минусы лезут. Вы матрицы записываете от падающего луча к прошедшему справа налево, а в Путилине ровно наоборот

У меня все правильно посчитано. Обозначения по возможности совпадают с Ratовскими. Все умолчания выбраны наиболее естественным образом. И вообще, кто такой Путилин, чтобы я свои расчеты с ним сравнивал?

AlexNew в сообщении #164368 писал(а):

1) на первой страничке у вас рисунок на котором свет падает под углом к поверхности?

Rat в сообщении #164370 писал(а):

1. Да, на первой страничке рисунок, на котором свет парает под углом к поверхности.

Оба на! Предупреждать надо. Где об этом было сказано выше? Мы до сих пор молчаливо предполагали, что падение нормальное. Для косого падения формулы намного сложнее, к тому же будет зависимость от поляризации падающей волны. Сразу вопросы: какой угол падения? какая поляризация?

AlexNew в сообщении #164368 писал(а):

2)вы считали только для одного цикла проховдения
<...>
или пробывали считать для цикла отражений : лево-право-лево-право... ?

Вам уже ответили, но я подтверждаю: в том матричном методе, который используется, автоматически учтены все многократные отражения от внутренних границ (возможно, у Вас какой-то другой метод).

Munin в сообщении #164380 писал(а):

peregoudov выписывает матрицы из уравнений Максвелла, и подтверждает их справедливость, но берёт уравнения Максвелла без поглощения.

Как это без поглощения? Оно сидит в комплексном показателе преломления.

Я вам завтра посчитаю для косого падения, сегодня поздно уже.

[Rat]

peregoudov писал(а):

[И вообще, кто такой Путилин, чтобы я свои расчеты с ним сравнивал?

Все таки надо уважительно относится к профессору, дтн.

peregoudov писал(а):

AlexNew в сообщении #164368 писал(а):

1) на первой страничке у вас рисунок на котором свет падает под углом к поверхности?

Rat в сообщении #164370 писал(а):

1. Да, на первой страничке рисунок, на котором свет парает под углом к поверхности.

Оба на! Предупреждать надо. Где об этом было сказано выше? Мы до сих пор молчаливо предполагали, что падение нормальное. Для косого падения формулы намного сложнее, к тому же будет зависимость от поляризации падающей волны. Сразу вопросы: какой угол падения? какая поляризация?

Да, я забыла написать про это. Но почему-то эти вопросы у вас только сейчас возникли.

peregoudov писал(а):

Munin в сообщении #164380 писал(а):

peregoudov выписывает матрицы из уравнений Максвелла, и подтверждает их справедливость, но берёт уравнения Максвелла без поглощения.

Как это без поглощения? Оно сидит в комплексном показателе преломления.

В этом, по-моему, вы правы. Поглощение действительно сидит в мнимой части показателя преломления.

[AlexNew]

Цитата:

Вам уже ответили, но я подтверждаю: в том матричном методе, который используется, автоматически учтены все многократные отражения от внутренних границ (возможно, у Вас какой-то другой метод).

не знаю правы вы или нет, но вот что меня смутило:
Если перейти к предельному случаю геометрической оптике (лазерный резонатор например), то там тоже используют матричный метод, и там матрицы благополучно возводятся в степень числа отражений.

то что тут этого делать ненадо слегка неожиданно : )

Добавлено спустя 1 минуту 33 секунды:

наверное стоит поверить раз вы так уверенно оба отвечаете

[Munin]

peregoudov в сообщении #164398 писал(а):

И вообще, кто такой Путилин, чтобы я свои расчеты с ним сравнивал?

Автор методички, по которой сдавать. Этим всё сказано :-)

peregoudov в сообщении #164398 писал(а):

Как это без поглощения? Оно сидит в комплексном показателе преломления.

Нет, оно должно было сидеть в материальном уравнении $\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E},$ которое вы похерили на ранней стадии. То, что оно потом войдёт в мнимую часть $n,$ отдельно показать надо.

[peregoudov]

Rat в сообщении #164404 писал(а):

Все таки надо уважительно относится к профессору, дтн.

Вы правы, не стоит говорить такого профессору в глаза, особенно если Вам еще сдавать ему зачет Но между собой-то можно Как говорит наш с Муниным общий знакомый txAlien: "какого хрена лезть в книжку, если я сам могу это вывести за 10 минут!"

Rat в сообщении #164404 писал(а):

Но почему-то эти вопросы у вас только сейчас возникли.

Потому и возникли только сейчас, что никто и предположить не мог, что Вы утаите столь важные сведения. Раз не говорите ничего --- значит, нормальное падение. Хвала AlexNew, что он догадался спросить прямо. Я бы заподозрил такое в последнюю очередь.

AlexNew в сообщении #164405 писал(а):

и там матрицы благополучно возводятся в степень числа отражений.

Матрицы могут возникать по разным поводам. В данном случае они описывают волны, распространяющиеся по и против оси z. Но они могут возникать, например, из-за поляризационных эффектов: если у вас на границе волна одной поляризации расщепляется на волны двух (трех) разных поляризаций. Примеры такого есть в теории упругости (конверсия P,SV->P+SV) или в анизотропных средах. Может быть, Вы это имеете в виду?

Обещанные формулы для косого падения. Оси выбираем прежним образом: z перпендикулярна границам слоев, x и y лежат в плоскости границы. Волна падает в плоскости xz.

Задача распаадется на две независимых подзадачи для падения волны, поляризованной в плоскости падения и в перпендикулярной плоскости. В первом случае отличны от нуля $E_x,E_z,H_y$, уравнения Максвелла принимают вид

$$ -\frac{\partial H_y}{\partial z}=\frac{n^2}c\frac{\partial E_x}{\partial t},\quad \frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}= -\frac1c\frac{\partial H_y}{\partial t}, $$

$$ \frac{\partial H_y}{\partial x}=\frac{n^2}c\frac{\partial E_z}{\partial t},\quad \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=0 $$

(последнее уравнение следует из $\nabla{\bf D}=0$). Решение ищем в виде

$$ E_x,E_z,H_y\sim e^{-i\omega t+ikx}. $$

В данном случае удобно получить волновое уравнение для H

$$ \frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2 H_y}{\partial t^2}= \frac{\partial^2 H_y}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 H_y}{\partial z^2}, $$

которое после подстановки превращается в уравнение осциллятора для амплитуды волны, его решение

$$ H_y=A\cos qz+B\sin qz,\quad q^2=\frac{\omega^2n^2}{c^2}-k^2. $$

Компонента $E_x$ после этого вычисляется дифференцированием

$$ E_x=-\frac{ic}{\omega n^2}\frac{\partial H_y}{\partial z}= -\frac{icq}{\omega n^2}(-A\sin qz+B\cos qz). $$

Последние уравнения переписываются в матричном виде

$$ \left(\begin{matrix}E_x(z)\\H_y(z)\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}\cos qz&\frac{icq}{\omega n^2}\sin qz\\ \frac{i\omega n^2}{cq}\sin qz&\cos qz\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}E_x(0)\\H_y(0)\end{matrix}\right). $$

В него входит модифицированный (для косого падения) матричный пропагатор слоя. Матричный пропагатор M для стопки слоев вычисляется по-прежнему перемножением матричных пропагаторов отдельных слоев.

Вычисление коэффициентов отражения/прохождения немного модифицируется. Пишем выражения для падающей/отраженной и прошедшей волн

$$ H_y=e^{iz\sqrt{\omega^2\!/c^2-k^2}}- Re^{-iz\sqrt{\omega^2\!/c^2-k^2}},\quad H_y=Te^{iz\sqrt{\omega^2\!/c^2-k^2}}, $$

выражения для $E_x$ получаем дифференцированием. Уравнения для определения R,T

$$ \left(\begin{matrix}T\sqrt{1-(kc/\omega)^2}\\T\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}(1+R)\sqrt{1-(kc/\omega)^2}\\(1-R)\end{matrix}\right) $$

Явные выражения

$$ R=-\frac{(m_{11}-m_{22})\cos\theta+m_{12}-m_{21}\cos^2\theta} {(m_{11}+m_{22})\cos\theta-(m_{12}+m_{21}\cos^2\theta)}, $$

$$ T=\frac{2\cos\theta}{(m_{11}+m_{22})\cos\theta-(m_{12}+m_{21}\cos^2\theta)}, $$

где $\cos\theta=\sqrt{1-(kc/\omega)^2}$ --- косинус угла падения.



Рассмотрим теперь случай волны, поляризованной перпендикулярно плоскости падения. Отличны от нуля компоненты $E_y,H_x,H_z$, уравнения Максвелла принимают вид

$$ \frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}= \frac{n^2}c\frac{\partial E_y}{\partial t},\quad -\frac{\partial E_y}{\partial z}=-\frac1c\frac{\partial H_x}{\partial t}, $$

$$ \frac{\partial E_y}{\partial x}=-\frac1c\frac{\partial H_z}{\partial t},\quad \frac{\partial H_x}{\partial x}+\frac{\partial H_z}{\partial z}=0 $$

(последнее уравнение следует из $\nabla{\bf B}=0$). В данном случае удобно получить волновое уравнение для E

$$ \frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}= \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2}, $$

которое приводит к решению для амплитуды

$$ E_y=A\cos qz+B\sin qz. $$

Компонента $H_x$ после этого вычисляется дифференцированием

$$ H_x=\frac{ic}{\omega}\frac{\partial E_y}{\partial z}= \frac{icq}{\omega}(-A\sin qz+B\cos qz). $$

Последние уравнения переписываются в матричном виде

$$ \left(\begin{matrix}E_y(z)\\-H_x(z)\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}\cos qz&\frac{i\omega}{cq}\sin qz\\ \frac{icq}\omega\sin qz&\cos qz\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}E_y(0)\\-H_x(0)\end{matrix}\right). $$

Вычисляем коэффициенты отражения/прохождения. Пишем выражения для падающей/отраженной и прошедшей волн

$$ E_y=e^{iz\sqrt{\omega^2\!/c^2-k^2}}+ Re^{-iz\sqrt{\omega^2\!/c^2-k^2}},\quad E_y=Te^{iz\sqrt{\omega^2\!/c^2-k^2}}, $$

выражения для $H_x$ получаем дифференцированием. Уравнения для определения R,T

$$ \left(\begin{matrix}T\\T\sqrt{1-(kc/\omega)^2}\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}(1+R)\\(1-R)\sqrt{1-(kc/\omega)^2}\end{matrix}\right) $$

Явные выражения

$$ R=-\frac{(m_{11}-m_{22})\cos\theta+m_{12}\cos^2\theta-m_{21}} {(m_{11}+m_{22})\cos\theta-(m_{12}\cos^2\theta+m_{21})}, $$

$$ T=\frac{2\cos\theta}{(m_{11}+m_{22})\cos\theta-(m_{12}\cos^2\theta+m_{21})}. $$

Когда будут значения угла падения и поляризации, могу посчитать численно.

Добавлено спустя 28 минут 3 секунды:

Munin в сообщении #164483 писал(а):

Нет, оно должно было сидеть в материальном уравнении $\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E},$ которое вы похерили на ранней стадии. То, что оно потом войдёт в мнимую часть $n,$ отдельно показать надо.

И как, по-вашему, должны выглядеть уравнения электродинамики сплошных сред в отсутствие "внешних" токов и зарядов, но при наличии "затухания"? Я пишу

$$ \nabla{\bf D}=0,\quad \nabla{\bf B}=0,\quad \nabla\times{\bf E}=-\frac1c\frac{\partial{\bf B}}{\partial t},\quad \nabla\times{\bf H}=\frac1c\frac{\partial{\bf D}}{\partial t}. $$

Вы предлагаете еще что-то вставить?